Demuestra que el área del paralelogramo es el doble del área del triángulo.

Question

Pensé que esto sería fácil pero no puedo encontrar la respuesta.

Editar: Hice mi mejor esfuerzo para dibujar el diagrama:

$\overline{EC}=\frac{1}{3} \overline{AC}, \overline{AF}=\frac{1}{3} \overline{AB}, \overline{BD}=\frac{1}{3} \overline{BC}$

Dibujé una línea paralela a $\overline{BE}$ a través de $R$. Llamé a la intersección de esa línea y $\overline{AB}$ punto $M$. Dibujé una línea paralela a $\overline{AD}$ a través de $B$, y llamé a la intersección de esa línea y mi línea anterior $G$. Luego quiero demostrar que $BGRP = 2\triangle PRQ$. Esto es para el objetivo final de resolver el problema del triángulo de área $1/7$. Además, necesito probar que $\triangle BGM = \triangle ARM$, y para probar eso creo que necesito probar que $M$ es el punto medio. Creo que estoy cerca con los triángulos similares $\triangle ARM$ y $\triangle APB$ pero no puedo obtener la relación. Gracias si lograste leer todo esto.

Editar: Se da una prueba completa aquí, solo necesito que alguien aclare las dilataciones y transformaciones.

Answer 1

En las coordenadas baricéntricas asociadas con $\triangle ABC$, tenemos $$ P = [1,4,2] \qquad\text{y}\qquad Q = [2,1,4] $$ Por supuesto resolví un sistema lineal para obtener esto, pero es fácil de comprobar después: $[1,4,2]$ está en la línea que une $A[1,0,0]$ y $D[0,2,1]$ (ya que es $[1,0,0] + 2[0,2,1]$) y en la línea que une $B[0,1,0]$ y $E[1,0,2]$ (ya que es $4[0,1,0]+[1,0,2]$), por lo que debe ser $P$. Luego obtenemos las coordenadas de $Q$ por simetría.

Así que $P$ es el punto medio de $BQ$. (Tomemos $B = [0,7,0]$.)

Answer 2

Probar que $\triangle BGM ~ \triangle ARM$ es fácil.
$\angle GMB = \angle AMR$ porque son ángulos opuestos por el vértice.
$\angle GBM = \angle MAR$ porque la línea $BG$ es paralela a la línea $AR$, y los ángulos son correspondientes y están formados por la intercepción $GR$.
Para probar que $BGRP=2PRQ$, necesitas mostrar que $BP=PQ$ lo cual no está claro para mí usando esta información.

Answer 3

Todo lo que necesitamos es demostrar que $\overline{BP} = \overline{PQ} $