Malentendido con la definición local de continuidad

Question

Sé que para dos espacios superiores cualesquiera $(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$ una función $f:X\to Y$ se dice que es continua en $X$ si $f^{-1}(V)\in\tau_X~\forall~V\in\tau_Y.$ Siguiendo tal definición la continuidad de una función $f:A(\subset X)\to Y$ en $D\subset A$ debería ser la siguiente: $f$ es continua en $D$ si $f|_{D}^{-1}(V)\in\tau_{X_D}~\forall$ $V\in Y$ donde $\tau_{X_D}$ es la topología en $D$ en relación con la topología $\tau_X$ en $X.$

¡Bueno! Vayamos al caso local. Dejemos que $x\in X.$ ¿No debería la continuidad de $f$ en $x$ sea la siguiente: $f$ es continua en $x$ si $f|_{\{x\}}:\{x\}\to Y$ es continua en $\{x\}?$

Pero con respecto a la topología relativa de $X$ la topología de $\{x\}$ es $\{\{x\},\emptyset\}$ que en término implica entonces independientemente de lo que $f$ ¡elegimos que es localmente continua dondequiera que se defina!

Entonces, ¿en qué me equivoqué?

Answer 1

Continuidad de $f$ en el subespacio $\{x\}$ sería precisamente lo que usted describe. Para la continuidad en un punto nos gustaría que la definición general coincidiera con la noción de continuidad que nos es más familiar (de los espacios métricos y del análisis real en particular), es decir, que $\lim_{t\to x}f(t)=f(x)$ .

Por supuesto, en una topología general puede no existir la noción de límite en algunos de los sentidos habituales (las secuencias pueden converger en todas partes, por ejemplo), pero en general, lo que queremos poder decir es: para hacer $f(t)$ como "cerca" de $f(x)$ como queramos dentro de lo que sea barrio de $f(x)$ que elijamos sólo tenemos que seleccionar $t\in X$ que esté lo suficientemente "cerca" de $X$ --en algunos barrio de $x$ . Así que, $f$ es continua en $x$ si para cualquier $V\in\tau_Y$ con $f(x)\in V$ Hay un poco de $U\in \tau_X$ con $x\in U$ y $f(U)\subseteq V$ . De forma equivalente, para cualquier $V\in\tau_Y$ con $f(x)\in V$ tenemos que $f^{-1}(V)\in\tau_X$ .

Como nota al margen, si $x$ es un punto aislado de $X$ --es decir, si $\{x\}\in\tau_X$ y luego la continuidad en $\{x\}$ y la continuidad en $x$ coinciden.

Answer 2

Todo lo que dices es completamente correcto, el "problema" surge dependiendo de cómo veas la continuidad en un punto. De hecho, una función continua $f:X\rightarrow Y$ es continua en $x \in X$ si para cualquier conjunto abierto $V \in \tau_Y$ que contiene $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ está abierto en $X$ .

Su definición utilizando la topología del subespacio es válida como definición de continuidad para una función en el espacio unipolar ${x}$ pero, como dices, causa algunos problemas si queremos pensar en $x$ como incrustado en un apce mayor. Esto se debe esencialmente a que cuando utilizamos la topología del subespacio, "perdemos información" sobre el resto del espacio. Consideremos la función de valor real sobre $\mathbb{R}$ dado por $f(x) = 0$ si $x=0$ y $f(x) = 1$ por lo demás. Podemos ver que $f^{-1}(B_{0}(\frac12)) = 0$ que será abierto en la topología del subespacio de ${0} \subset X$ pero no en $X$ sí mismo.

Answer 3

$f$ es realmente continua en el conjunto $\{x\}$ utilizando la definición de continuidad más la definición de topología del subespacio. Esto es bastante trivial. Y es cierto para cualquier $f$ en absoluto.

Pero queremos $f$ continuo en $x$ para tener un significado coherente con la declaración, que $f$ es continua en $X$ si $f$ es continua en $x$ para todos $x$ en $X$ .

Esto se consigue definiendo $f$ para ser continua en $x$ si para cada vecindad abierta $V$ de $f(x)$ hay un barrio abierto $U$ de $x$ tal que $f[U] \subset V$ que se traduce en el habitual $\epsilon$ - $\delta$ definición para los espacios métricos.