¿El conjunto de todas las funciones continuas en un compacto grupo $G$ formar un anillo (sin unidad a menos que el grupo es finito)?

Question

Deje $G$ ser un grupo compacto y $C(G)$ el conjunto de funciones continuas en $G$. Definir la convolución de dos funciones de $f_1,f_2 \in C(G)$ $$ f_1 * f_2 := \int_{G} f_{1}(gh^{-1})f_2(h) dh$$ then with respect to above convolution $C(G)$ se forma un anillo.

Reclamo : $C(G)$ contiene una unidad de elemento iff $G$ es finito.

Mi esfuerzo: yo podría demostrar el sentido inverso por la definición de la unidad como

$$ \delta_{e}(g)= \begin{cases} 1 & g=e\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ Entonces es fácil ver que $f*\delta_{e}= f = \delta_{e}*f$.

Para la dirección de avance (por contradicción): Supongamos $G$ es un grupo compacto y $\exists $ unidad $\delta$ $C(G)$ tal que $f*\delta= f = \delta*f$. A continuación, nos gustaría mostrar que $\delta(g) =0 $ $\forall g \in G$. Así, supongamos que $\exists$ $x \in G$ tal que $\delta(x) \neq 0$. Desde $\delta \in C(G)$ es decir, es una función continua implica que $\exists$ simétrica de vecindad $U_{x}$ $x$ tal que $\delta $ toma valores distintos de cero en $U_{x}$. Ahora, por definición de la convolución, podemos escribir $$ |(f* \delta) (x) - \int_{U_{x}} f(xh^{-1}) \delta(h) dh| $$ After this step I am not understanding how to go further for showing that $\delta$ es idéntica a cero. Gracias de antemano! cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

(Voy a suponer $G$ es Hausdorff.)

Usted no sólo puede mostrar $\delta$ es idéntica a cero debido a que es falso en grupos finitos! Pero usted puede mostrar lo siguiente en cualquier grupo compacto: si $\delta$ es una unidad de elemento, a continuación, $\delta(x)=0$ todos los $x \ne e$. Desde cero no es la unidad de los elementos, se debe tener $\delta(e) \ne 0$, lo $e$ es un punto aislado, significando $G$ es discreta, lo que significa (por compacidad) que $G$ es finito.

Para mostrar la reclamación, tome $x \ne e$ y supongamos, sin pérdida de generalidad $\delta(x) > 0$. El uso de continuidad, elija $\epsilon > 0$ y un vecindario $V$ $e$ tal que $\delta(xy^{-1}) > \epsilon$ todos los $y \in V$. El uso de Urysohn del lexema, producen una continua no negativa de la función de $f$ compatibles dentro de $V \setminus \{x\}$$\int f(y)\,dy = 1$. Ahora compruebe que$(\delta \ast f)(x) \ge \epsilon \ne 0 = f(x)$, de modo que $\delta$ no es una unidad.