referencias para las singularidades: ¿las singularidades del cociente implican a gorenstein?

Question

¿Existe un buen sitio donde aprender sobre singularidades de variedades algebraicas?

OK, esta pregunta es terriblemente vaga, así que preguntaré lo que me interesa actualmente: si X es una variedad lisa y G es un grupo finito, entonces es $X/G$ ¿Gorenstein? Si es cierto, ¿cuál sería una referencia?

Answer 1

Aquí está una pregunta relacionada en mathoverflow .

Parece que la parte relevante de 'Gorenstein' aquí es que el divisor canónico es Cartier. O, en otras palabras, la gavilla canónica es invertible. Esto es pas necesariamente cierto para cocientes de variedades lisas.

He aquí un ejemplo sencillo de una singularidad cociente aislada que no es Gorenstein: Sea $X \cong \mathbb{C}^3 = \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[z_1,z_2,z_3]$ y que $G \cong \mathbb{Z}_2$ actuar $X$ como $(z_1, z_2, z_3) \to (-z_1, -z_2,-z_3)$ . Entonces $X/G = \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[z_1^2,z_2^2,z_3^2,z_1 z_2, z_1 z_3, z_2 z_3]$ y esto no es Gorenstein. Hay (al menos) un par de maneras de ver esto:

• Si se conoce la geometría tórica, es un ejercicio sencillo demostrar que $K_{X/G}$ no es Cartier.
• A grandes rasgos, el tallo de $\omega_X$ en el origen se genera mediante $dz_1\wedge dz_2\wedge dz_3$ y esto no lo conserva $G$ Así que $\omega_{X/G\setminus\{0\}}$ no puede extenderse a un haz de líneas en el origen. Con más detalle, $\omega_{X/G}$ tiene tres secciones independientes en una vecindad del origen: $z_1dz_1\wedge dz_2\wedge dz_3~,~ z_2dz_1\wedge dz_2\wedge dz_3~,~ z_3dz_1\wedge dz_2\wedge dz_3$ .

Answer 2

Las referencias de los libros de texto estándar para el aprendizaje de las singularidades y su resolución son:

• Greuel/Lossen/Shustin - Introducción a las singularidades y deformaciones Springer 2007.
• Kollár, J. - Conferencias sobre resolución de singularidades Princeton University Press 2007.
• Cutkosky, S. D. - Resolución de singularidades Estudios de posgrado en matemáticas de la AMS 2004.
• Kollár/Kovács - _Singularidades del Programa Modelo Mínimo_ , Springer 2013.
• Hauser et al. - Resolución de singularidades, un libro de texto de investigación Birkhauser 2000.

En especial, los de Kollár y Cutkosky son libros estupendos que dan muchos ejemplos y demuestran el famoso teorema de resolución de Hironaka. Quizá puedas encontrar allí el tipo de temas que te interesan. Para una introducción a las singularidades y una visión general profundamente conceptual hacia tal teorema, está el fantástico artículo disponible gratuitamente:

• Hauser, H. - El teorema de Hironaka sobre la resolución de singularidades (O: una demostración que siempre quisimos entender) Boletín de la AMS, vol. 40, nº 3, p. 323-403, 2003.