Matriz de Burau de la trenza

Question

¿Cuál es la definición de la matriz de Burau de una trenza? ¿Dónde puedo encontrar una definición?

Answer 1

La otra respuesta parece ser correcta, pero en aras de proporcionar una respuesta que no sea de enlace, voy a dar la definición aquí.

La matriz de Burau de una trenza es la matriz que representa la trenza en la representación de Burau, por lo que es una matriz sobre $\mathbb Z [t, t^{-1}]$ es decir, las entradas de la matriz son polinomios de Laurent en la variable $t$ con coeficientes enteros. La representación de Burau es una representación (es decir, un homomorfismo de grupo) $\psi_n: B_n \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb Z [t, t^{-1}])$ . Como con cualquier homomorfismo de grupo, basta con definirlo sobre un conjunto generador y comprobar que el mapa resultante está bien definido.

Lo definimos en forma de bloque como $$\psi_n : \sigma_i \mapsto \left( \begin{array}{ccc} I_{i-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-t & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & I_{n-i-1} \end{array} \right) ,$$ donde $I_m$ es el $m \times m$ matriz de identidad, y $i$ oscila entre $1$ a $n-1$ . Para que esto sea un homomorfismo válido, tenemos que comprobar que estas matrices son invetibles y que se conservan las relaciones de trenza, es decir, que $\psi_n(\sigma_i) \psi_n(\sigma_j) = \psi_n(\sigma_j) \psi_n(\sigma_i)$ para $|i-j| \ge 2$ y que $\psi_n(\sigma_i) \psi_n(\sigma_{i+1}) \psi_n(\sigma_i) = \psi_n(\sigma_{i+1}) \psi_n(\sigma_i) \psi_n(\sigma_{i+1})$ para $i=1, \ldots, n-2$ . Expondré aquí la matriz inversa, pero te dejo que compruebes que los cálculos funcionan. $$\psi_n(\sigma_i)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} I_{i-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & t^{-1} & 1-t^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & I_{n-i-1} \end{array} \right)$$

Con esto fuera del camino, para cualquier trenza $\gamma$ para calcular su matriz de Burau, basta con escribir $\gamma = \sigma_{i_1}^{e_1} \cdots \sigma_{i_m}^{e_m}$ como una palabra en los generadores, y entonces tienes $\psi_n(\gamma) = \psi_n (\sigma_{i_1})^{e_1} \cdots \psi_n (\sigma_{i_m})^{e_m}$ que ahora es fácil de calcular.

Por alguna intuición, el caso $t=1$ es bueno mirar. Configuración $t=1$ obtenemos una matriz de permutación. Esta es la matriz de permutación correspondiente a la permutación subyacente de la trenza, es decir, el homomorfismo compuesto $B_n \rightarrow S_n \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb Z)$ donde $S_n$ es el grupo simétrico en $n$ cartas. La representación de Burau es, pues, una deformación de 1 parámetro de la representación de permutación.

Lo anterior es, por supuesto, sólo una de las varias convenciones, pero es la que suelo ver elegida en la literatura cuando uno necesita hacer estos cálculos explícitamente.

Answer 2

Personalmente me gusta la exposición de Birman en su libro Trenzas, enlaces y grupos de clases de mapeo que ofrece una introducción muy topológica al tema.

También sé que Daan Krammer da un enfoque algebraico bastante agradable en un conjunto de notas de clase en línea . También tiene una lista de ejercicios asociados a las notas.