Propiedad de la función constante

Question

Aprendo análisis real y topología entonces encontré algo interesante sobre la función constante. No estoy seguro de si es verdadera o falsa porque no puedo demostrarlo. Encontré propiedad como sigue:

Si $X$ es $T_1$ y toda función continua $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ es constante, entonces para cualquier conjunto cerrado adecuado no vacío $F$ , $\bigcap\{U(x): U \mbox{ is open set containing } x, \mbox{ for any } x\in F\}\neq\emptyset.$

Por ejemplo $X$ es un espacio incontable dotado de topología co-contable. Entonces todo conjunto cerrado adecuado no vacío $F$ de $X$ cumple la condición anterior.

Por favor, ayúdenme a demostrarlo o denme un contraejemplo si es falso.

Answer 1

Su ejemplo de conjunto incontable $X$ equipado con la topología cocontable proporciona un contraejemplo.

Cualquier función continua $X \rightarrow \mathbb{R}$ es constante. Para verlo, supongamos $f$ es una continua continua $X \rightarrow \mathbb{R}$ y que $x, y \in X$ tienen $a = f(x) < b = f(y)$ . $X$ está conectado bajo la topología cocontable (ya que dos conjuntos abiertos no vacíos cualesquiera se encuentran) y, por tanto, la imagen de $f$ debe contener el intervalo $[a, b]$ . Pero entonces $f^{-1}([a, (a+b)/2])$ es un subconjunto cerrado incontable de $X$ y por lo tanto debe ser $X$ lo cual es imposible porque $y \not\in f^{-1}([a, (a+b)/2])$ . Por lo tanto, según la conjetura, si $F$ es cualquier subconjunto cerrado no vacío de $X$ la intersección de todos los conjuntos abiertos que cumplen $F$ no está vacío. Pero no es así: si $F$ es un subconjunto cerrado de $X$ con más de un elemento, y $x \in X$ , dejemos que $U = X \mathop{\backslash} \{x\}$ ; entonces $U$ está abierto, $U$ conoce $F$ (porque $F$ tiene más de un elemento) y $x \not\in U$ .