Según el título, ¿por qué un difeomorfismo que preserva un paralelismo localmente determinado de manera única por su valor en $1$ punto?
Respuesta
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Supongamos que $f,g$ son dos diffeomorfismos, con los mismos valores en $x$ que preservan la paralelización. Considere $h = gf^{-1}: M \to M$ Esto envía $x$ a sí mismo. Queremos mostrar que esta es la identidad. Primero, el conjunto de puntos donde $h$ es que la identidad está cerrada (porque $h$ es continua). Segundo, mostramos que esto está abierto. Trabaja en un gráfico que respeta la paralelización: uno tal que $e_i = \partial / \partial x_i$ en cada punto, y también podemos exigir que $h(x) = 0 = x$ . Entonces diciendo que $h$ preserva la paralelización es lo mismo que decir que $ \partial h/ \partial x_i = 1$ para todos $i$ y tomando las integrales vemos que $h(x) = x$ para todos $x$ . Así que $h$ es la identidad en esta carta, y por lo tanto el conjunto de puntos para los cuales $h$ es que la identidad está tanto abierta como cerrada, de ahí todo.
