Deje $R$ ser un Noetherian dominio de dimensión dos.
Deje $\mathfrak{m}_1,\mathfrak{m}_2$ dos disctinct máximos ideales de la altura de los dos. Hay infinitamente muchos primeros ideales contenidos en $\mathfrak{m}_1\cap\mathfrak{m}_2$?
He hecho el siguiente caso:
Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $R=k[x,y]$. Deje $\mathfrak{m}_1, \mathfrak{m}_2,\ldots,\mathfrak{m}_r$ $r$ disctinct máxima ideales. A continuación, hay una infinidad de primer ideales $\mathfrak{p}\subset \bigcap_{i=1}^r \mathfrak{m}_i$.
Prueba: Por Nullstellensatz, escribir $\mathfrak{m}_i=(x-a_i,y-b_i)$. Si todos los $a_i$ son distintos. A continuación, podemos encontrar un polinomio $F=y-f(x)$ que es irreducible (es decir, la interpolación polinómica). Y podemos añadir más puntos para conseguir más diferentes polinomios irreducibles.
Desde $\mathfrak{m}_i$ son distintos pares. Siempre podemos encontrar una transformación lineal $A\in GL_2$, de modo que volvemos a la anterior. Aquí se utilizará el campo $k$ es infinito.
Corolario de Esto es cierto para $\mathbb{A}^2_k$ para cualquier campo $k$.
Parece que es difícil ir más lejos.
Deje $A$ ser un finitely generadas $k$-álgebra que es un dominio de dimensión dos. Deje $\mathfrak{m}_1\neq\mathfrak{m}_2$ dos máximos ideales. Yo soy incapaz de encontrar un alojamiento ideal $0\neq\mathfrak{p}\subset \mathfrak{m}_1\cap\mathfrak{m}_2$.
Gracias.
