Evaluar $\int \frac{x^2 + x+3}{x^2+2x+5}\ dx$

Question

¿Cómo se puede evaluar $$\displaystyle\int \frac{x^2 + x+3}{x^2+2x+5} dx$$

Para ser honesto, estoy avergonzado. Me descompone y sabe a lo que la respuesta debe ser, pero
Yo no puedo llegar a la respuesta correcta.

Answer 1

Usted puede descomponer el integrando de la siguiente manera:

$$ \frac{ x^2 + 2x + 5 - x - 1 - 1}{x^2 + 2x + 5} = 1 - \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5} - \frac{1}{(x+1)^2 + 4}$$

Usted puede integrar el primer término directamente, el segundo término después de la sustitución de $u = x^2 + 2x + 5$, y el tercer término recordando que $(\arctan{x})' = 1/(x^2 + 1)$, y luego mediante otra sustitución para hacer que la expresión de la mirada, como la derivada de la $\arctan$.

Answer 2

$$I=\int \frac{x^2 + x+3}{x^2+2x+5} dx=\int \frac{x(x+1)+3}{(x+1)^2+2^2} dx$$

Poner a $x+1=2\tan\theta,dx=2\sec^2\theta d\theta,$

$$I= \frac{2\tan\theta(2\tan\theta-1)+3}{4\sec^2\theta d\theta}2\sec^2\theta d\theta$$

$$2\tan\theta(2\tan\theta-1)+3=4\tan^2\theta-2\tan\theta+3=4\sec^2\theta-2\tan\theta-1$$

$$\text{So,} I=\frac12\int(4\sec^2\theta-2\tan\theta-1)d\theta=2\tan\theta-\log|\sec\theta+\tan\theta|-\theta+C $$ where $C$ es una constante arbitraria de integración indefinida.

Como $\tan\theta=\frac{x+1}2,$

$\sec^2\theta =1+\left(\frac{x+1}2\right)^2=\frac{x^2+2x+5}4$

$\theta=\arctan \left(\frac{x+1}2\right)$