¿Cuál es la débil*-topología en un conjunto de medidas de probabilidad?

Question

Mientras trataba de responder a esta pregunta, he llegado a través de la noción de la débil*-topología en un conjunto de medidas de probabilidad. Me gustaría alguna aclaración acerca de lo que esto significa.

Más específicamente, deje $(\Omega, \mathcal{F})$ ser un espacio medible. No suponemos que $\Omega$ tiene cualquier métricas o topológicas de la estructura. ¿Qué significa para equipar el set $\mathcal{M}$ de probabilidad de medidas en este espacio con el débil*-topología de estrella?

Entiendo que el débil*-topología es la más débil de la topología en el espacio dual $V'$ de una normativa espacio vectorial $V$ que hace la evaluación funcionales definidos por $\lambda_f(\phi) = \phi(f)$, $\phi \in V'$ y $f \in V$, continua. Lo que no entiendo es cómo $\mathcal{M}$ puede ser equipado con esta topología no es un espacio vectorial.

Por lo que he leído, creo que las medidas en $\mathcal{M}$ se identifican con los funcionales lineales sobre un espacio de funciones medibles. Por ejemplo, $P \in \mathcal{M}$ da lugar a un funcional lineal $\phi$ en la normativa del espacio lineal de delimitada $\mathcal{F}$medible de funciones, equipado con el $\sup$-norma, por $\phi(f) := \int f dP$. Es algo como esto correcto? Que subyacen espacio vectorial de funciones medibles deben ser utilizados?

Agradecería si alguien pudiera por favor boceto de la correspondiente teoría de mí y/o darme un completo libro de texto el tratamiento de este tema.

---

Adenda. Mi comprensión actual de este tema se resumen como parte de mi intento de responder a mi propia pregunta en el link de arriba.

Answer 1

Hasta donde yo sé, el derecho de contexto aquí es que usted tiene un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$, el cual da un espacio de Banach $C_0(X)$ de funciones continuas de fuga en el infinito (es decir, el conjunto de todos los $x$ tal que $\lvert f(x)\rvert\geq \varepsilon$ es compacto, para todos los $\varepsilon>0$), equipado con el supremum de la norma.

Observe que cada una (firmado, o incluso complejos) regular Borel medida de variación acotada le da una funcional lineal continua en $C_0(X)$ (a través de la integración). Por Riesz-teorema de Markov, lo contrario también es cierto: cada continuo funcional en $C_0(X)$ está dado por la integración con un (único) complejo, regular Borel medida de variación acotada.

Por lo tanto $C_0(X)^*$ puede ser identificado con el espacio de todo el complejo, Borel regular las medidas de variación acotada, y por lo tanto usted puede poner el débil y débil-$^*$ topología en el último. En particular, se puede ver la Borel regular probabilidad de medidas como un subconjunto de a $C_0(X)^*$ y dotar a ellos con la correspondiente de la topología de subespacio.

No he oído hablar de una definición de débil-$^*$ topología en el espacio de las medidas que de alguna manera no hacer referencia a una topología en la medida subyacente espacio. Se puede encontrar un isomorfismo con topológico, medir el espacio y tire de la medida a través de él, pero no creo que el débil-$^*$ topología sería independiente de la elección de isomorfismo (aunque creo que débil topología puede ser).