Pruebas $f(x) = 0$ en todas partes

Question

Estoy atascado en este problema, le he dedicado un esfuerzo considerable y he intentado utilizar la naturaleza acotada de las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, pero no consigo resolverlo. Creo que podría tener que elegir una secuencia inteligente en algún lugar, pero no puedo ver exactamente qué hacer.

Supongamos que $f:[0,1] \to\mathbb{R}$ es continua y $f(0) = f(1) = 0$ . Además, supongamos que para todos $x \in (0,1)$ existe un $0 < d < \min\{x,1-x\}$ tal que: $$f(x) = \frac12\Big(f(x-d) + f(x+d)\Big)\;.$$ Demostrar que $f(x)=0$ en todas partes.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f$ no es idéntico $0$ . Entonces $f$ alcanza un extremo distinto de cero en algún punto $c\in(0,1)$ . Sea $A=\{x\in[0,1]:f(x)=f(c)\}$ ya que $f$ es continua, $A$ es cerrado y tiene un elemento mínimo $a$ claramente $a>0$ . Existe una $d<\min\{a,1-a\}$ tal que $$f(a)=\frac12\Big(f(a-d)+f(a+d)\Big)\;,$$ y puesto que $f$ alcanza su máximo a $a$ , $f(a)=f(a-d)$ lo cual es imposible.

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SUGERENCIA para una versión anterior del problema en la que $d=\min\{x,1-x\}$ :

$\quad1.$ Dado $f(0)$ y $f(1)$ ¿Qué es $f\left(\frac12\right)$ ?

$\quad2.$ Dado $f\left(\frac12\right)$ y los puntos anteriores, ¿cuáles son $f\left(\frac14\right)$ y $f\left(\frac34\right)$ ?

$\quad3.$ Dado $f\left(\frac14\right)$ y $f\left(\frac34\right)$ y los puntos anteriores, ¿cuáles son $f\left(\frac18\right),f\left(\frac38\right),f\left(\frac58\right)$ y $f\left(\frac78\right)$ ?

$\quad4,5,\dots$

$\quad\omega.$ Una función continua está completamente determinada por sus valores en un conjunto denso.

Answer 2

Para el caso actual

Supongamos $f$ alcanza el valor máximo $M \gt 0$,$c$.

Ahora consideremos el conjunto $S = \{ x: f(x) = M\}$.

Desde $2f(c) = f(c-d) + f(c+d)$, debemos tener la $f(c-d) = f(c+d) = M$.

Esto implica que $\inf S = 0$.

Por lo tanto hay una secuencia $c_n \to 0$ tal que $f(c_n) = M$. Por lo tanto $M=0$.

Del mismo modo, se puede demostrar que el valor mínimo es de $0$.

Para el caso anterior

(Aunque esta prueba lleva todavía más, sólo por tener esta aquí debido a la curiosa secuencia de conseguir).

Básicamente, obtener la secuencia:

$x_{n+1} = 2x_n$ si $\ 0 \le x_n \le \frac{1}{2}$ y

$x_{n+1} = 2x_n - 1$ si $ \frac{1}{2} \le x_n \le 1$

Considere la posibilidad de $x$ que tiene una representación decimal finita en la base de las $2$.

Para $x_1 = x$, por tal $x$, podemos mostrar que la secuencia converge a $0$ o $1$ (ver lo que sucede con las cifras antes y después del punto decimal).

Desde tal $x$ son densos, y $f$ es continuo, está hecho.

Answer 3

Supongamos que $f$ no es idéntico $0$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $M:=\max\{f(x):0<x<1\}>0$ . Defina $x_0:=\inf\{x\in(0,1): f(x) =M\}$ . Entonces $x_0\in(0,1)$ y $f(x_0)=M$ pero la propiedad de promediación hipotetizada dará otro punto $x_1\in(0,x_0)$ con $f(x_1)=M$ y una contradicción.

Answer 4

No lo he calculado completamente, pero creo que si miras los números $x = 0/k, 1/k, \ldots, k/k$ para algún número entero positivo $k$ y utilizar la mencionada propiedad de $f$ se obtienen ecuaciones que implican $f(i/k) = 0$ para todos $i = 0, \ldots, k$ . Hacer esto para cada $k$ implica que $f(x) = 0$ para todos $x \in (0,1) \cap \mathbb{Q}$ y puesto que $f$ es continua esto debería implicar $f(x) = 0$ para todos $x \in (0,1)$ .