Es la noción de un adecuado mapa de útil entre los no-localmente compacto espacios?

Question

Recuerda que un mapa de $f: X \to Y$ entre espacios topológicos se llama adecuada si, para cada compacto $K \subseteq Y$, $f^{-1}(K)$ es compacto.

Se me ocurre que esta definición es poco probable que sea útil si $Y$ no tiene "suficiente" pacto de subconjuntos. Y es probable que sea "demasiado restrictiva" si $X$ no tiene "suficiente" pacto de subconjuntos.

Este nace en la imagen intuitiva (cf. la wikipedia), que dice que si $f: X \to Y$ es adecuada, y $\{x_i\}$ es una secuencia que se "escapa al infinito" en el sentido de que cualquier compacto $K \subseteq X$ contiene a lo más un número finito de la $x_i$'s, entonces la secuencia de $\{f(x_i)\}$ escapa al infinito en el mismo sentido. Esta noción puede ser modificado para utilizar las redes en lugar de secuencias, pero no por ello deja de ser la equivocada noción de "escapar al infinito" en un no-localmente-en espacio reducido, por ejemplo, en este sentido, una base ortonormales de $\ell_2(\mathbb{N})$ "escapa al infinito". Así que esta imagen intuitiva realmente sólo funciona localmente compacto espacios, donde esencialmente dice que $f$ se extiende a un mapa entre 1-punto compactifications el envío de $\infty$$\infty$.

De ahí la pregunta: es la noción de un adecuado mapa útil cuando uno está trabajando con los no-localmente compacto espacios? Por ejemplo, ¿hay alguna interesante teoremas cuya hipótesis pedir que un mapa sea adecuada, sin pedir que los espacios que intervienen ser localmente compacto? Si no, ¿hay algún tipo de "sustituir" la noción de que funciona bien para los espacios que no son localmente compactos? (Sería bueno, pero no necesario, para un sustituto de la noción de estar de acuerdo con el propio local en espacios compactos.)

Answer 1

He aquí un ejemplo, aunque no estoy seguro de lo útil que es (todas las aplicaciones comunes son para $X$ $Y$ localmente compacto).

Teorema. Deje $X$ $Y$ ser completamente regular espacios. Si $f:X\to Y$ es un continuo cerrado surjection y cada una de las $f^{-1}\{y\}$ está conectado y compacto (es decir, $f$ es perfecto y monótona), a continuación, $\beta f:\beta X\to \beta Y$ es monótono.

Es una forma bastante profunda resultado, y puede ser utilizado para obtener extraño continua en $\beta X\setminus X$.

Una aplicación donde $X$ $Y$ están nada localmente compacto: Vamos a $X=\mathbb Q \times [0,1]$, $Y=\mathbb Q$, y deje $f$ ser la primera coordenada de proyección. Si $p\in \beta \mathbb Q$ $\beta f^{-1}\{p\}$ es un continuo. Por supuesto, esto sólo es interesante si $p\in \beta \mathbb Q\setminus \mathbb Q$, de lo contrario usted acaba de obtener el intervalo. No tengo idea de lo que las propiedades de estas continua tienen, pero parece que debe ser bastante raro.

No estoy seguro de que esto es exactamente lo que estaba buscando, porque el supuesto relativo a la compacta preimages es más débil de lo "apropiado".