problema de multiplicación de números de dos cifras

Question

$77$ se multiplica por otro número de dos cifras idénticas. El tercer
dígito del producto, contando de izquierda a derecha, es un $3$ . ¿Qué es el producto?

Sólo adiviné $55$ y resultó dar la respuesta correcta ( $4235$ ), pero me preguntaba si había una forma más matemática de hacerlo. En realidad puse el número de dos dígitos como $(10a+a) = 11a$ que me dio $847a$ pero sin saber cuántos dígitos hay en total en el producto, ¿cómo puedo continuar a partir de ahí?

Answer 1

Desde $847*a$ , obtenemos que el dígito del uno será $7*a \mod 10$ que es congruente con $3$ sólo si $a = 9$ que llevaría a un $4$ -número de dígitos con $3$ como último y cuarto dígito. Por lo tanto, su número debe tener 4 dígitos. El tercer dígito, entonces, es $\frac{7*a - (7*a \mod 10)}{10} + (4*a \mod 10)= 3$

$$\frac{7*a - (7*a \mod 10)}{10} + (4*a \mod 10)= 3$$ $${7*a - (7*a \mod 10)} + (40*a \mod 10)= 30$$ $$7*a - (7*a \mod 10) = 30$$

Claramente, $5$ es la única solución.