Bolzano-Weierstrass aplicación?

Question

Estoy teniendo problemas para probar la siguiente afirmación: Dado un conjunto acotado $A \subset R^n$, yo quiero probar la existencia de $a_1, \dots, a_N \in R^n$ y números de $r_1, \dots, r_N \in [0, +\infty)$ tal que

$$A \subset \cup_{k=1}^N B(a_k,r_k)$$

Donde la pelota se define ad

$$B(a,r) = \{ x \in R^n : |x - a| \leq r \}, a \in R^n, r \geq 0$$

y el conjunto de $\{\sum_{k=1}^N r^2_k : \text{A can be covered with a collection} \ B(a_k,r_k)_{k=1}^N\}$ tiene un elemento más pequeño (tal vez las bolas tienen que ser cerrados, se anunciarán próximamente ...)

Creo que debería usar Bolzano-Weierstrass teorema, pero estoy luchando con una prueba formal.

Si a es acotado que significa que se puede construir un número finito de cobertura por la unión de finito de bolas centradas en $a_k$. Necesito tener en cuenta el caso de Una cerrada y Una abierta?

Answer 1

WLOG, supongamos $A\subseteq [0,1]^n$, y definir la colección de revestimientos \begin{equation*} \mathcal{C} = \left\{ (a_1,\dots,a_N)\times(r_1,\dots,r_N) \in [0,1]^n \times [0,2^n]^n: A\subseteq \bigcup_{k=1}^N B(a_k,r_k) \right\}. \end{ecuación*}

Parte I: $\mathcal{C}$ es cerrado o, equivalentemente, $\mathcal{C}^c$ está abierto.

Tomar cualquier punto de $E = (a_1,\dots,a_N)\times(r_1,\dots,r_N) \in \mathcal{C}^c$. Entonces hay un punto de $a_0 \in A$ tal que $a_0 \notin B(a_k,r_k)$ cualquier $k$. Para cada $k$, $B(a_k,r_k)$ es cerrado, por lo que puede perturbar la pelota lo suficientemente pequeño de factores $0<\epsilon_{k}$, $\delta_{k}\in [-1,1]^n$ de modo que $a_0 \notin B(a_k+\delta_k,r_k+\epsilon_k)$. Esta muestra $\mathcal{C}^c$ está abierto.

Parte II:

Para $C= (a_1,\dots,a_N)\times(r_1,\dots,r_N) \in \mathcal{C}$, definir $\rho(C) = \sum_{k=1}^N r_k^2$, y vamos a \begin{equation*} M := \inf_{C\in \mathcal{C}} \rho(C). \end{ecuación*} Ahora podemos definir una secuencia $C_m\in \mathcal{C}$ tal que $\rho(C_m)\leq M+1/m$$m\in\mathbb{N}$. Desde $\mathcal{C}$ es un conjunto compacto, existe una larga $C_{m_l}$ $C_m$ que converge a un punto de $C_0=(a_1^0,\dots,a_N^0)\times(r_1^0,\dots,r_N^0)$. Por construcción, $M=\rho(C_0)$.

Answer 2

Hay una manera fácil de demostrar que si se considera el cierre de Una (que va a ser cerrado y acotado, por lo tanto compacto) y el hecho de que está incluido en su cierre. A continuación, puede aplicar borel-lebesgue teorema para el cierre de Una y obtener este resultado.

Por supuesto, esta prueba depende de la definición de compacity que relie, pero usted puede probar la equivalencia entre los distintos definición si es necesario ( Una compacta iff de cada secuencia de los elementos se puede extraer una convergencia de uno, o Una compacta iff hay un número finito de bolas con un radio de r tales que su unión se incluye Una que es lo que estás buscando ).

Si quieres puedo detalle de la prueba que implican la equivalencia entre estas dos definiciones (en su caso, que es Una parte de la $R^n$), pero se puede ver en esta página de la wikipedia en la "apertura de la tapa de la definición de" :

http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space#Open_cover_definition