Cada subespacio cerrado de ${\scr C}^0[a,b]$ continuamente diferenciable funcions debe tener dimensión finita.

Question

Si $F \subset {\scr C}^1[a,b] \subset {\scr C}^0[a,b]$, $\dim F < +\infty,$ donde $F$ es un subespacio cerrado (en $ {\scr C}^0[a,b]$). He encontrado esta respuesta, que es muy bueno y se soluciona el problema, pero ¿cómo podemos demostrar que la afirmación de que sin el uso de Ascoli-Arzelà en la final? No hemos cubrir equicontinuity, etc.

Hay más elemental de la prueba del resultado?

Answer 1

La inclusión $\mathscr{C}^1[a,b] \hookrightarrow \mathscr{C}^0[a,b]$ es continua, por lo $F$ también está cerrado en $\mathscr{C}^1[a,b]$. Por lo tanto $F$ es un espacio de Banach con respecto a la $\mathscr{C}^0$-norma y con respecto a la $\mathscr{C}^1$-norma. Por lo tanto estas dos normas son equivalentes en $F$ (pues no son comparables). Decir que hemos

$$\lVert f\rVert_{\mathscr{C}^1} \leqslant K\cdot \lVert f\rVert_{\mathscr{C}^0}\tag{1}$$

para todos los $f\in F$.

Deje $n > K\cdot (b-a)$. Consideremos el subespacio

$$F_n = \Bigl\{ f \in F : f\bigl(a + k\tfrac{b-a}{n}\bigr) = 0,\text{ for } 0 \leqslant k \leqslant n\Bigr\}.$$

$F_n$ es el espacio nulo de a (continua) lineal mapa de $F \to\mathbb{C}^{n+1}$, por lo tanto $F_n$ ha finito codimension ( $\leqslant n+1$ )$F$.

Supongamos $F_n \neq \{0\}$, es decir, hubo un $f \in F_n$$\lVert f\rVert_{\mathscr{C}^0} = 1$. Dicen que la máxima módulo de $1$ es alcanzado en $t\in [a,b]$. La distancia de $t$ hasta el siguiente punto de $a + k\frac{b-a}{n}$ es en la mayoría de las $\frac{b-a}{2n}$. Por el valor medio teorema, por lo tanto, tenemos

$$\lvert f'(x)\rvert \geqslant \frac{2n}{b-a} > 2K$$

para algunos $x\in [a,b]$, pero que significa

$$\lVert f\rVert_{\mathscr{C}^1} > 2K \lVert f\rVert_{\mathscr{C}^0}.$$

Esto contradice $(1)$, por lo tanto no es $f \in F_n$$\lVert f\rVert_{\mathscr{C}^0} = 1$, es decir,$F_n = \{0\}$, y, en consecuencia,$\dim F \leqslant n+1$.