Transformada de Fourier discreta de $\omega^{n(n-1)/2}$

Question

Para que la secuencia de $x_0$, $x_1$, $\ldots$,$x_{N-1}$, deje $\omega=e^{2\pi i/N}$ y definir la transformada de Fourier discreta como

$$X_k = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1}x_n\omega^{nk}\,.$$

Estoy interesado en la transformación de $x_n=\omega^{n(n-1)/2}$. Al $N$ es impar, he encontrado por jugar con Mathematica que

$$X_n = \omega^{-n(n-1)/2}\omega^{(N-1)/8}\,.$$

Alguna idea de cómo demostrar esta identidad?

Answer 1

La secuencia está estrechamente relacionado con lo que se llama un Zadoff-Chu secuencia, o Frank-Zadoff-Chu (FZC) secuencia o simplemente un Chu secuencia , dependiendo de quién los insultos. Una de las propiedades de FZC secuencias es que su Discreta de Fourier son otra FZC secuencia, conjugado, a escala, y posiblemente el tiempo de escala así. Estas secuencias son utilizados en los modernos celulares de los sistemas de comunicación. Para más detalles, véanse las referencias en la Wikipedia enlace proporcionado arriba.