Mostrar que $\Gamma \cup \{\neg \phi\}$ es válido si y sólo si $\Gamma\not \models \phi$

Question

Deje $\Gamma$ ser un conjunto de fórmulas y $\phi$ ser una fórmula. Mostrar que $\Gamma \cup \{\neg \phi\}$ es válido si y sólo si $\Gamma\not \models \phi$.

Esto parece algo obvio, pero quería ver si mi prueba de sentido:

Prueba: $(\Rightarrow)$

Para derivar una contradicción, supongamos que: $\Gamma \models \phi$. Eso significa que para todos la verdad asignaciones $v$ $\gamma \in \Gamma$ si $v(\gamma) = T$,$v(\phi) = T$.

Pero esto contradice nuestra suposición de que $\Gamma \cup \{\neg \phi \}$ es válido por el hecho de que $v(\phi) = T$ no puede suceder así: $\Gamma \not \models \phi$ .

$(\Leftarrow)$

Así, por la definición de $\Gamma \not \models \phi$, tenemos que hay algo de verdad en la asignación de $v$ que satisface $\Gamma$ pero no satisface $\phi$. Lo que significa que la $v(\phi) = F$ desde $v(\phi) \not = T$, lo que implica que $v(\neg \phi) = T$, lo que significa $v$ satisface $\Gamma \cup \{\neg \phi\}$.

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Me siento como que me falta algo en la dirección de avance, pero al mismo tiempo... Se ve bastante trivial así. Me estoy perdiendo algo crucial?

Gracias!

Answer 1

La prueba es completamente correcto. Saludos :).