Cuatro preguntas sobre campos finitos

Question

1. Es $\mathbb{F}_5$ un subcampo de la $\mathbb{F}_7$? No puedo pensar en el responder " sí " porque tienen el mismo conjunto op operaciones de $+ \cdot$ y la respuesta 'no' porque en $\mathbb{F}_5: 2\cdot3=1$ y en $\mathbb{F}_7: 2\cdot3=6$.

2. Cuando considero el campo finito con cuatro elementos,$\mathbb{F}_4$: $\{0,1,\omega,\omega^2=\omega+1\}$ $\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2$ how do I prove or know that in this field $1+1=0$ como en $\mathbb{F}_2$?
   EDIT: por $\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2$ me refiero a que el producto puede ser definido en una forma complicada, por ejemplo,$(a,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,ad+bc+bd)$. Lamentablemente, no conozco la notación correcta.

3. Puede probarse también para el campo con 8 elementos de $\mathbb{F}_8 = \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2\times \mathbb{F}_2$?

4. Es posible enumerar los elementos de $\mathbb{F}_8$, al igual que un la extensión de los elementos de $\mathbb{F}_4$: $\{0,1,\omega\omega^2=\omega+1, \gamma \gamma^2, \ldots, \delta, \ldots\}$

Answer 1

1. No. Un campo finito $\mathbf F_{p^m}$ es un subcampo del campo finito $\mathbf F_{q^n}$ si y sólo si $p=q$$m\mid n$.

2. y 3. $\;\mathbf F_2$ es (isomorfo a) un subcampo de cada una de las $\mathbf F_{2^m}$, y si $1\cdots 2=0$$\mathbf F_2$, sigue siendo cierto en todos los $\mathbf F_{2^m}$.

   4. $\;\mathbf F_4 \,$ no es un subcampo de la $\;\mathbf F_8$, por lo que su pregunta no tiene sentido.

Answer 2

1. Si $K\le L$ campos, a continuación, $L$ es un espacio vectorial sobre $K$, en particular, por lo $|L|=|K|^{d}$ donde $d=\dim_KL$.
2. Empezar a añadir $1$ con sí mismo. En un número finito de anillo hay una menor $n$ tal que $n\cdot 1=0$. Si el anillo no tiene divisores de cero , entonces el más pequeño de $n$ debe ser un primo. Tenga en cuenta que en el caso de un campo, este conjunto $\{0,1,1+1,\dots\}$ será un subcampo.
3. Sí.
4. No es exactamente así. Para $\Bbb F_8$ usted necesita encontrar un polinomio irreducible de grado $3$, y se acuestan por su raíz formalmente.

Tenga en cuenta también que, como anillos (o campos) que no tiene $\Bbb F_4\cong\Bbb F_2\times\Bbb F_2$ o $\Bbb F_8\cong \Bbb F_2\times\Bbb F_2\times\Bbb F_2$, esto sólo es válido para su subyacente aditivo grupo.

Answer 3

$\mathbb F_5$ definitivamente no es un subcampo de la $\mathbb F_7$, por la razón que usted menciona. Las operaciones no son las mismas operaciones que con ellos si no tienen los mismos valores cuando se dan los mismos argumentos.

En un campo con cuatro elementos, ha $1\ne0$, pero si $1+1\ne0$, entonces el conjunto $\{0,1,1+1\}$ contiene tres de los cuatro elementos. No puede ser un subgrupo porque $3$ no divide $4$, o, para decirlo de otra manera, tendría que tener al menos un coset que consta de otros tres elementos, y no hay muchos otros elementos. Así que vas a tener $1+1+1$ como otro elemento no nulo. Entonces usted tendría el problema de lo que el inverso multiplicativo de a $1+1$ es. Observe que $(1+1)^2 = 1+1+1+1$ (ley distributiva), y que $=0$. Si el cuadrado de un elemento es $0$, puede que elemento tiene un inverso multiplicativo?