Mersin probó ser un lugar perfecto.

Question

Considere la posibilidad de $y = x^2 + ax - a$ positivos integral de los valores de $a,x$.

Estoy en última instancia, buscando las condiciones suficientes para $y$ a ser un cuadrado perfecto, pero las condiciones necesarias o sugerencias también será de utilidad.

Ya he probado un par de técnicas en la aritmética modular, y se considera que los valores de $a,x$ que $y$ se encuentra entre 2 consecutivos plazas. El último sólo proporciona un enlace para $x$ dependiendo del valor de $a$ elegido:

$4x \leq (a + 1)^2$ por extraño $a$ $8x \leq a^2 + 4$ incluso $a$.

Answer 1

La PISTA.-Tal vez usted quiere probar con el siguiente. $$x^2+ax-a=y^2\iff \left(x+\frac a2\right)^2+1=y^2+\left(\frac a2+1\right)^2$$

Ahora usted tiene la solución general de la ecuación de $$X^2+Y^2=Z^2+W^2$$ está dada por $$\begin{cases}2X=tM+sN\\2Y=tN-sM\\2Z=tM-sN\\2W=tN+sM\end{cases}$$ where $t,s,M,$ N son enteros arbitrarios.

Answer 2

Tan solo una Sugerencia

Supongamos que $\exists b :$

$y=b^2$

$-a=\frac{(x-b)(x+b)}{x-1}$.

lo que da

$b=-1 \;,\; a=1-x$ y

$x=1\; y=1$.

Answer 3

No estoy seguro si esto es lo que usted está buscando:

$$x^2+ax-a=k^2 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-a \pm \sqrt{a^2-4a-4k^2}}{2}$$

Usted necesita para ser un entero. Esto sucede si y sólo si $$a^2-4a-4k^2$$ is a perfect square ( note that this has the same parity as $$).

Por lo tanto $$a^2-4a=4k^2+m^2$$

Esto implica que $a^2-4a$ es la suma de dos cuadrados.

Por el contrario, si $a^2-4a$ es la suma de dos cuadrados, desde la $a^2-4a \in \{0,1\} \pmod{4}$, uno de los cuadros debe ser par.

Por lo tanto $$ a^2-4a=4k^2+m^2$$ y la configuración de $$x=\frac{-a \pm m}{2}$$ we get that $un$ and $m$ have same parity thus $x \in \mathbb Z$ y $$y=k^2$$