Función entera invariante en los ejes de coordenadas (como conjuntos).

Question

Del antiguo examen de calificación: Deja $E$ sea la unión de los dos ejes de coordenadas, es decir $E = \{z=x+iy : xy=0\}$ . Describir todas las funciones enteras que satisfacen $f(E) \subset E$ .

Creo que el mejor enfoque es considerar la serie de potencia de $f$ . Mi primera aproximación fue escribir las restricciones considerando la función aplicada al eje real o imaginario. Al no conseguirlo, empecé a pensar en la función de forma geométrica: en $E$ se le permite escalar por una constante real, y rotar por $k\pi/2$ . Pero, de nuevo, no pude ver cómo traducir esto de forma útil para producir información sobre la serie de potencia. Gracias.

Como ejemplo, $z^2$ tiene esta propiedad. De hecho, también la tiene $az^2+bz^4$ (con $a,b \in \mathbb{R}$ ) ya que cada término mapea el eje imaginario al eje real, que termina de nuevo en el eje real cuando se suma. Un argumento similar muestra que los polinomios reales de impar también funcionan.

Answer 1

Si $f(E)\subset E$ entonces $(f^2)(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$ . Así, los coeficientes de la serie de potencias de $(f)^2$ (alrededor de $z=0$ ) son reales. Si $\{c_n\}$ son los coeficientes de Taylor de $f$ alrededor de $z=0$ entonces $$ \sum_{j=0}^nc_jc_{n-j}\in\mathbb{R},\quad n=0,1,2,\dots\tag1 $$ Si $f(E)\subset E$ lo mismo ocurre con $g(z)=f(i\,z)$ . Dado que los coeficientes de $g$ son $i^n\,c_n$ , se deduce que $$ i^n\,\sum_{j=0}^nc_jc_{n-j}\in\mathbb{R},\quad n=0,1,2,\dots\tag2 $$ De (1) y (2) obtenemos $$ \sum_{j=0}^nc_jc_{n-j}=0\quad\text{if $ n $ is odd.}\tag3 $$ Ahora no es muy difícil ver que la serie de potencias de $f$ debe ser uno de $$ \sum_{n=0}^\infty c_nz^{2n},\quad i\,\sum_{n=0}^\infty c_nz^{2n},\quad \sum_{n=0}^\infty c_nz^{2n+1},\quad i\,\sum_{n=0}^\infty c_nz^{2n+1},\text{ with } c_n\in\mathbb{R}. $$