Solucionar $\left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}+\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}}$

Question

Solucionar $$\left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}+\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}}$$

Prefacio; creo que debe haber un método algebraico de resolución de esta ecuación para $x$ desde la graficación de estos dos gráficos

Tenemos todo el número de soluciones tales como $x=0,2,3$

Así que creo que hay alguna manera de manipular esta ecuación en un disfrazado cuadrática de alguna manera!

Así que mi intento es este:

$$\left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}+\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}}$$

Deje $u=x^2-5x+8$$u-2=x^2-5x+6$, lo que significa que podemos reescribir la ecuación como

$$\left(\sqrt{\sqrt{u}+\sqrt{u-2}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{u}-\sqrt{u-2}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}}$$

El cuadrado ambos lados obtenemos

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x + 2\left(\sqrt{\sqrt{u}+\sqrt{u-2}} \right)^x\left(\sqrt{\sqrt{u}-\sqrt{u-2}} \right)^x+ \left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{\frac{x+4}{2}}$$

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x+ 2(\sqrt{2})^x+ = 2^{\frac{x+4}{2}}$$

Ahora un poco de álgebra

$2^{\frac{x+4}{2}}-2(\sqrt{2})^x=2^{\frac{x}{2}} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^{\frac{x}{2}}=2^{\frac{x}{2}} \cdot 2=2^{\frac{x+2}{2}}$

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{\frac{x+2}{2}}$$

Cuadrado ambos lados de nuevo

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x}+2\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{x+2}$$

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x}+2(2^x) = 2^{x+2}$$

$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x} = 2^{x+1}$$

Ahora he golpeado a una barricada.. :(

Answer 1

sugerencia: Usar AM-GM de la desigualdad: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, para este tipo de pregunta, con $a,b$ son el primer y segundo términos del lado izquierdo de la ecuación. El producto $ab =$ constante. Específicamente, con $a = \sqrt{\sqrt{x^2-5x+8} + \sqrt{x^2-5x+6}}, b = \sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}}$, we have equation occurs when $a = b \implica \sqrt{x^2-5x+6} = 0 \implica x = 2,3$.

Answer 2

SUGERENCIA:

Reemplace $\sqrt u-\sqrt{u-2}=\dfrac2{\sqrt u+\sqrt{u-2}}$ para formar una ecuación de segundo grado en $$\left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt u+\sqrt{u-2}}\right)^{x/2}$$ , que es

$$\left(\left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt u+\sqrt{u-2}}\right)^{x/2}-1\right)^2=0$$