Solucionar $$\left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}+\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}} $$
Prefacio; creo que debe haber un método algebraico de resolución de esta ecuación para $x$ desde la graficación de estos dos gráficos
Tenemos todo el número de soluciones tales como $x=0,2,3$
Así que creo que hay alguna manera de manipular esta ecuación en un disfrazado cuadrática de alguna manera!
Así que mi intento es este:
$$\left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}+\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}} $$
Deje $u=x^2-5x+8$$u-2=x^2-5x+6$, lo que significa que podemos reescribir la ecuación como
$$\left(\sqrt{\sqrt{u}+\sqrt{u-2}} \right)^x + \left(\sqrt{\sqrt{u}-\sqrt{u-2}} \right)^x = 2^{\frac{x+4}{4}} $$
El cuadrado ambos lados obtenemos
$$ \left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x + 2\left(\sqrt{\sqrt{u}+\sqrt{u-2}} \right)^x\left(\sqrt{\sqrt{u}-\sqrt{u-2}} \right)^x+ \left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{\frac{x+4}{2}}$$
$$\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x+ 2(\sqrt{2})^x+ = 2^{\frac{x+4}{2}}$$
Ahora un poco de álgebra
$2^{\frac{x+4}{2}}-2(\sqrt{2})^x=2^{\frac{x}{2}} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^{\frac{x}{2}}=2^{\frac{x}{2}} \cdot 2=2^{\frac{x+2}{2}}$
$$ \left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{\frac{x+2}{2}} $$
Cuadrado ambos lados de nuevo
$$ \left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x}+2\left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^x\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^x = 2^{x+2} $$
$$ \left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x}+2(2^x) = 2^{x+2} $$
$$ \left( \sqrt{u} + \sqrt{u-2}\right)^{2x} +\left( \sqrt{u} - \sqrt{u-2}\right)^{2x} = 2^{x+1} $$
Ahora he golpeado a una barricada.. :(
Respuestas
¿Demasiados anuncios?sugerencia: Usar AM-GM de la desigualdad: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, para este tipo de pregunta, con $a,b$ son el primer y segundo términos del lado izquierdo de la ecuación. El producto $ab = $ constante. Específicamente, con $a = \sqrt{\sqrt{x^2-5x+8} + \sqrt{x^2-5x+6}}, b = \sqrt{\sqrt{x^2-5x+8}-\sqrt{x^2-5x+6}}$, we have equation occurs when $a = b \implica \sqrt{x^2-5x+6} = 0 \implica x = 2,3$.
Farkhod Gaziev
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