Toalla de baño en la cuerda

Question

Esta pregunta está relacionada con mi toalla de baño, que me cuelgan de una cuerda, así que vamos a divertirnos (usted puede utilizar su propia toalla para hacer este experimento en el baño-o).

No es este rectángulo con lados de $a<b$. El rectángulo se dobla a lo largo de una recta que pasa por el centro del rectángulo. En la que el ángulo de $\alpha$ (i. e., ángulo de $\angle RAU$ – ver la foto) debemos doblar el rectángulo con el fin de obtener el mínimo de la zona de cruce de intersección?

Es obvio que si $|a-b| \gg 0$,$\alpha\approx\pi/4$. También, podemos ver en el pentágono NOPQR. Además de que, para un determinado $a/b$ obtenemos el triángulo ($a/b<0.8150237, \alpha =\pi/4$).

Todos en todos, estoy buscando un gráfico: $a/b$ como en términos de$\alpha$) y el área del cruce de la intersección, que es $\displaystyle S = [2ab - (a^2+b^2)t + 2abt^2 - (a^2+b^2)t^3]/[4(1-t^2)]$ donde $t=\tan \alpha$.

Cualquier ayuda es muy bienvenida.

Answer 1

El área mínima se produce cuando $\alpha=\frac{\pi}{4}$ y es igual a $S_\rm{min}=a^2/2$

Por qué? Bueno he resuelto este problema con un CAD paramétricos del sistema y, a continuación, utilizando la geometría. Si la altura de la toalla es $a$ y el ancho es de $b$$a<b$, entonces la crítica de la relación de aspecto es $\eta_c=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$. Cuando el ángulo de pliegue $\alpha\leq\eta_c$, en el área común es

$$S_1 = \dfrac{2 a b\cos\alpha-(a^2+b^2)\cos\alpha}{4\cos\alpha (2\cos^2\alpha-1))}$$

pero cuando el pliegue ángulo es$\alpha > \eta_c$, entonces el área es

$$S_2 = \dfrac{a^2}{4\cos\alpha\sin\alpha}$$

el que tiene un mínimo en $\alpha=\pi/4$. La clave de la solución es encontrar las coordenadas del punto donde los dos lados largos de la toalla se cruzan después de la tapa (punto de $P$ anterior). Calcula: $P=(\frac{a}{2}\tan\alpha,\,-\frac{a}{2})$ en un sistema de coordenadas en el centro de la toalla.

Al final me tome el ámbito de la mitad de una torre y restar el triangular partes que sobresalen. Los cálculos que se basan en coordenadas homogéneas para las líneas, de tal manera que una línea de $L=[A,B,C]$ tiene una ecuación igual a $[A,B,C]\cdot[x,y,1]=0$ o $Ax+By+C=0$.

Dos puntos de $P$ $Q$ se une con la línea de $$\rm{JOIN}(P,Q)=\left[P_2-Q_2,Q_1-P_1,P_1 Q_2-P_2 Q_1\right]$$ where $P=(P_1,P_2)=(x_P,y_P)$ and the similarly for $P$.

Luego de dos líneas $L$, $K$ se cortan en $$\rm{MEET}(L,K)=\left[\dfrac{L_2 K_3-K_2 L_3}{L_1 K_2 - L_2 K_1}, \dfrac{K_1 L_3 - L_1 K_3}{L_1 K_2 - L_2 K_1}\right]$$ where $L_1$, $L_2$ and $L_3$ are the components of line $L$ and similarly for $K$.

El área de un triángulo con vértices $A$, $B$ y $C$ es

$$\rm{AREA}(A,B,C) = \frac{1}{2}\left( (B_1-A_1)(C_2-A_2)-(C_1-A_1)(B_2-A_2) \right)$$ that comes from the derivation of the cross product of the vectors $B-A$ and $C$.

Además, los siguientes es verdadera:

1. La línea de pliegues tiene coordenadas $L=[-\sin\alpha,\cos\alpha,0]$.

2. Punto de $E$ tiene coordenadas $E=(-\frac{b}{2}\cos2\alpha+\frac{a}{2}\sin2\alpha,\,-\frac{b}{2}\sin2\alpha-\frac{a}{2}\cos2\alpha)$

3. Punto de $T$ tiene coordenadas $T=(\frac{b}{2}\cos2\alpha+\frac{a}{2}\sin2\alpha,\,\frac{b}{2}\sin2\alpha-\frac{a}{2}\cos2\alpha)$