Una aplicación del derecho de grandes cantidades

Question

¿Cómo se puede aplicar una ley de grandes números a un Proceso de Poisson para deducir el hecho analítico de que

$$ \lim_ {t \rightarrow\infty } e^{-t} \sum_ {n=0}^ \infty \frac {t^{2n}}{(2n)!} \left |1- \frac {t}{2n+1} \right |=0?$$

Parece que al menos habría que usar una ley débil de matriz triangular ya que el Proceso de Poisson es tiempo continuo y el límite es el tiempo continuo, pero ni siquiera estoy seguro de verlo entonces

Answer 1

Si $X_t$ es una variable aleatoria de Poisson con un parámetro $t$ y $Y_t=1/(1+X_t)$ Esto es $$E(|1-tY_t|;X_t\ \text {even}) \leqslant E(|1-tY_t|) \leqslant (E((1-tY_t)^2))^{1/2},$$ por lo tanto, basta con mostrar que $E((1-tY_t)^2) \to0. $

Tengan en cuenta que $$t\,E(Y_t)=t \mathrm e^{-t} \sum_ {n \geqslant0 } \frac {t^n}{n!} \frac1 {n+1}=1- \mathrm e^{-t}, \qquad t^2\,E(Y_t^2)= \mathrm e^{-t}s_t, \qquad s_t= \sum_ {n \geqslant1 } \frac {t^{n+1}}{n! \cdot n},$$ por lo tanto $$E((1-tY_t)^2)=2 \mathrm e^{-t}-1+ \mathrm e^{-t}s_t,$$ y el resultado sigue si $s_t \sim\mathrm e^t$ cuando $t \to\infty $ . En una dirección, $$s_t \geqslant\sum_ {n \geqslant1 } \frac {t^{n+1}}{(n+1)!}= \mathrm e^t-1-t \sim\mathrm e^t.$$ En la otra dirección, por cada $n \geqslant N$ , $n \geqslant N(n+1)/(N+1)$ por lo tanto $$s_t \leqslant\sum_ {n=1}^{N-1} \frac {t^{n+1}}{n! \cdot n}+ \frac {N+1}N \sum_ {n \geqslant N} \frac {t^{n+1}}{(n+1)!}=P_N(t)+ \frac {N+1}N( \mathrm e^t-Q_N(t)),$$ para dos funciones polinómicas $P_N$ y $Q_N$ de grado $N-1$ . ¿Puedes concluir?