Evaluar $\sum_{j\geqslant1}\sum_{k\geqslant1}(-1)^{k+j}\frac{(2k-1)+i(2j-1)}{((2k-1)^{2}+(2j-1)^{2})^{3/2}}.$

Question

Tras una prueba que he realizado, he considerado una red infinita de cargas eléctricas y me he preguntado la fuerza resultante en el origen. El origen tiene una carga $+1$ y todo entero gaussiano $a+bi$ en el primer cuadrante (sólo) con coeficientes impar también tiene cargas: $+1$ si $a+b\equiv0\pmod4$ y $-1$ si $a+b\equiv2\pmod4$ . Cada número $z$ aplica una fuerza de módulo $1/|z|^2$ en el origen. Calculando las cosas, encontré que la fuerza total en el origen es $$\sum_{j\geqslant1}\sum_{k\geqslant1}\frac{\left(-1\right)^{k+j}\left(\left(2k-1\right)+i\left(2j-1\right)\right)}{\left(\left(2k-1\right)^{2}+\left(2j-1\right)^{2}\right)^{3/2}}.$$

No tengo acceso a Mathematica/Maple ni he estudiado a fondo las pruebas de convergencia/divergencia. ¿Converge? Si es así, ¿tiene una forma cerrada agradable?

Answer 1

Si escribe

suma de j=1 al infinito de la suma de k=1 al infinito de [(-1)^(k+j)((2k-1)+i*(2j-1))]/[((2k-1)^2+(2j-1)^2)^(3/2)]

en Wolfram Alpha , se obtiene que la suma no converge por la prueba del límite. (Compruébalo y asegúrate de que no lo he escrito mal). Wolfram Alpha es una herramienta gratuita que puede hacer buenos cálculos como este por ti.

Answer 2

Esta es mi justificación de por qué esta suma debe converger: recoger la primera suma y llamar a $2j-1=a$ tenemos $$(-1)^j\left(\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-1)^k(2k-1)}{((2k-1)^2+a^2)^{3/2}}+ia\sum_{k\geqslant1}\frac{(-1)^k}{((2k-1)^2+a^2)^{3/2}}\right)\\\color{Red}{\leqslant_\star}(-1)^j\left(\frac{1}{2^{3/2}a^{3/2}}\sum_{k\geqslant1}\frac{(-1)^k}{(2k-1)^{1/2}}+\frac{ia}{2^{3/2}a^{3/2}}\sum_{k\geqslant1}\frac{(-1)^k}{(2k-1)^{3/2}}\right)\tag{$\color {Rojo}{ \text {AM-GM}} $}\\=(-1)^j\left(\frac{R+iaS}{2^{3/2}a^{3/2}}\right).$$ $R$ y $S$ ambos convergen por la prueba de series alternas. Ahora, vamos a ponerlos en la segunda suma: $$\text{Original sum}\leqslant_\star\frac{1}{2^{3/2}}\left(R\sum_{j\geqslant1}\frac{(-1)^j}{(2j-1)^{3/2}}+iS\sum_{j\geqslant1}\frac{(-1)^j}{(2j-1)^{1/2}}\right)=\frac{RS}{2^{3/2}}\left(1+i\right).$$

Por lo tanto, la suma converge. He abusado de la notación usando los números de orden y complejos juntos, pero se puede arreglar fácilmente separando las partes reales e imaginarias. Podemos ver esto como $a+bi\leqslant_\star c+ id\iff a\leqslant_\star c \,\text{and}\, b\leqslant_\star d$ .