Si$P \in \operatorname{Ass}M$, entonces$R/P \subset M$.

Question

Permita que$R$ sea un anillo conmutativo con unidad. $M$ an$R$ - module. Entonces$P \in \operatorname{Ass}M$ si y solo si hay un submódulo$N\subset M$ tal que$R/P \cong N$.

$$\operatorname{Ass}M:=\{P\text{ prime $ R$-ideal}\mid P\text{ is the annihilator of an element of }M\}$ $

Creo que todo lo que necesito es una pista. ¿Podría alguien darme una pista?

Answer 1

Supongo que, para ti, un primo asociado$P$ de$R$ es un ideal ideal que es el aniquilador de un porcentaje no nulo$m\in M$, y que quieres mostrar que esto implica que hay algún submódulo de$M$ isomorfo a$R/P$.

Esta es mi sugerencia: como parte de la condición, se nos otorga un$m\in M$% distinto de cero. Utilizando esto, construya un homomorfismo de los módulos$R\to M$ y calcule su kernel.

Answer 2

deje$p=Ann\ x$ para algunos$x\in M$. entonces$$R/P\cong R/Ann\ x\cong Rx\subset M$ $