¿Espacios con grupos de homotopía iguales pero grupos de homología diferentes?

Question

Dado que es bastante fácil encontrar dos espacios que tengan diferentes grupos de homotopía pero los mismos grupos de homología ( $S^2\times S^4$ y $\mathbb{C}\textrm{P}^3$ ). ¿Existen buenos ejemplos de espacios al revés? ¿Hay alguna forma obvia de abordar un problema como éste?

Answer 1

El ejemplo estándar es $\mathbb RP^2\times S^3$ y $\mathbb RP^3\times S^2$ (tienen los mismos grupos de homotopía ya que ambos tienen $\pi_1=\mathbb Z/2$ y la cubierta universal es en ambos casos $S^2\times S^3$ ).

Answer 2

Considere $X=S^1\vee S^3$ y su doble cubierta $X_2$ es decir, adjuntar dos copias de $S^3$ uno en el polo norte y otro en el polo sur de $S^1$ . Entonces $\pi_1(X) =\mathbb{Z} = \pi_1(X_2)$ . Y el mapa de cobertura induce un isomorfismo en $\pi_n$ para todos $n\geq 2$ . Pero no son homotópicamente equivalentes/tienen diferentes grupos de homología ya que sus Características Eulares son diferentes.