Integral de$x^{\sqrt x}$

Question

Estoy tratando de encontrar esta integral: $$\int x^\sqrt x \, dx $ $

2. Wolframalpha me dio un integral. (Por lo que existe)
3. Trató de integración por las piezas y trató de convertirlo a $$ e^{\sqrt x \ln(x)} $$ then expanding $$ %e por su notación de sumatoria.

Answer 1

$$x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}\ln(x)} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(\sqrt{x}\ln(x))^k}{k!}$$

De allí que usted consigue

$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \int \left(\sqrt{x}\ln(x)\right)^k\ \text{d}x$$

La repetición de una integración por partes, se obtiene:

$$\int \left(\sqrt{x}\ln(x)\right)^k\ \text{d}x = \Gamma\left[1 + \frac{k}{2},\ -\left(1 + \frac{k}{2}\right)\ln(x)\right]\ln^{1 + k/2}(x)\left(-\left(1 + \frac{k}{2}\right)\ln(x)\right)^{-1 - k/2}$$

Así que al final hemos

$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!}\left(\Gamma\left[1 + \frac{k}{2},\ -\left(1 + \frac{k}{2}\right)\ln(x)\right]\ln^{1 + k/2}(x)\left(-\left(1 + \frac{k}{2}\right)\ln(x)\right)^{-1 - k/2}\right)$$

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