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Un problema matemático, ¿cómo verificarlo?

Pregunta Deje z1,2U(0,1)C, demostrar que |z1||z2|1|z1||z2||z1+z21+¯z1z2||z1|+|z2|1+|z1||z2|

En realidad no he venido para arriba con cualquier razonablemente buena prueba de lo lejos. Todo lo que podía hacer era simplemente el uso de la fuerza bruta, es decir, las relaciones como |z|2=z¯z. Cuando terminé mi fuerza bruta prueba y rebobina, me pareció que podría ser simplificado en el siguiente formulario, que no se ve tan horrible:

Deje w=2|z1z2|z1¯z2z2¯z10. La plaza de la desigualdad, y denotan el medio como AB<1. Entonces AwBwABA+wB+w cual es el resultado deseado.

Parece buena. Pero, de hecho, no. Porque se trata , en retrospectiva: es sólo después de que yo había ataque de fuerza bruta y rebobina que he formulado este corto.

Así que aparte de este, hay otro más elegante o avanzado de la prueba? Por cierto, la estructura de |x|±|y|1±|x||y| se produce con frecuencia, es de alguna importancia?

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David Walker Puntos 1

La siguiente no es elegante o avanzado, pero sin ninguna fuerza bruta, creo.
Podemos suponer que la 0<|z2||z1|. A continuación, la desigualdad que queremos probar es|z1||z2|1|z1||z2||z1+z21¯z1+z2||z1|+|z2|1|z1|+|z2|.

Deje θ=argz1 y reemplacez2z2eiθ, luego el medio plazo se convierte en |z1+z2eiθ1¯z1+z2eiθ|=|z1eiθ+z21¯z1eiθ+z2|=|r+z21r+z2|, donde r=|z1| es real positivo. Por lo tanto, es suficiente para demostrar r|z2|1r|z2||r+z21r+z2|r+|z2|1r+|z2| for z2 with |z2|r. Let z2=ρeiφ ( ρr, 0φ<2π). Entonces tenemos

|r+z21r+z2|2=r2r2+ρ2+2rρcosφ1+r2ρ2+2rρcosφ. Fix ρ y el uso de la desigualdad a la que usted menciona (tenga en cuenta que 1+r2ρ2>r2+ρ2), luego tenemos

r2r2+ρ22rρ1+r2ρ22rρ|r+z21r+z2|2r2r2+ρ2+2rρ1+r2ρ2+2rρ,(rρ)2(1rρ)2|r+z21r+z2|2(r+ρ)2(1r+ρ)2. Esto completa la prueba.

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