Un problema matemático, ¿cómo verificarlo?

Question

Pregunta Deje $z_{1,2}\in U(0,1)\subset \Bbb C$, demostrar que $$\frac{|z_1|-|z_2|}{1-|z_1||z_2|}\le\left|\frac{z_1+z_2}{1+\overline{z_1}z_2}\right|\le\frac{|z_1|+|z_2|}{1+|z_1||z_2|}$$

En realidad no he venido para arriba con cualquier razonablemente buena prueba de lo lejos. Todo lo que podía hacer era simplemente el uso de la fuerza bruta, es decir, las relaciones como $|z|^2=z\overline z$. Cuando terminé mi fuerza bruta prueba y rebobina, me pareció que podría ser simplificado en el siguiente formulario, que no se ve tan horrible:

Deje $w=2|z_1z_2|-z_1\bar {z_2}-z_2\bar{z_1}\ge 0$. La plaza de la desigualdad, y denotan el medio como $\frac AB < 1$. Entonces $$\frac{A-w}{B-w}\le\frac AB\le \frac{A+w}{B+w}$$ cual es el resultado deseado.

Parece buena. Pero, de hecho, no. Porque se trata , en retrospectiva: es sólo después de que yo había ataque de fuerza bruta y rebobina que he formulado este corto.

Así que aparte de este, hay otro más elegante o avanzado de la prueba? Por cierto, la estructura de $\displaystyle\frac{|x|\pm|y|}{1\pm|x||y|}$ se produce con frecuencia, es de alguna importancia?

Answer 1

La siguiente no es elegante o avanzado, pero sin ninguna fuerza bruta, creo.
Podemos suponer que la $0<|z_2|\le |z_1|$. A continuación, la desigualdad que queremos probar es $$\frac{|z_1|-|z_2|}{\frac{1}{|z_1|}-|z_2|}\le\left|\frac{z_1+z_2}{\frac{1}{\overline{z_1}}+z_2}\right|\le\frac{|z_1|+|z_2|}{\frac{1}{|z_1|}+|z_2|}.$$

Deje $\theta =\arg z_1$ y reemplace$z_2$$z_2e^{i\theta }$, luego el medio plazo se convierte en $$\left|\frac{z_1+z_2e^{i\theta }}{\frac{1}{\overline{z_1}}+z_2e^{i\theta }}\right| =\left|\frac{z_1e^{-i\theta }+z_2}{\frac{1}{\overline{z_1}}e^{-i\theta }+z_2}\right| =\left|\frac{r+z_2}{\frac{1}{r}+z_2}\right| ,$$ donde $r=|z_1|$ es real positivo. Por lo tanto, es suficiente para demostrar $$\frac{r-|z_2|}{\frac{1}{r}-|z_2|} \le \left|\frac{r+z_2}{\frac{1}{r}+z_2}\right|\le \frac{r+|z_2|}{\frac{1}{r}+|z_2|}$$ for $z_2$ with $|z_2|\le r$. Let $z_2=\rho e^{i\varphi }$ ( $\rho \le r,$ $0\le \varphi <2\pi$). Entonces tenemos

$$\left|\frac{r+z_2}{\frac{1}{r}+z_2}\right|^2=r^2\frac{r^2+\rho ^2+2r\rho \cos \varphi }{1+r^2\rho ^2+2r\rho \cos \varphi }.$$ Fix $\rho$ y el uso de la desigualdad a la que usted menciona (tenga en cuenta que $1+r^2\rho ^2>r^2+\rho ^2$), luego tenemos

$$\begin{align} r^2\frac{r^2+\rho ^2-2r\rho}{1+r^2\rho ^2-2r\rho}&\le \left|\frac{r+z_2}{\frac{1}{r}+z_2}\right|^2\le r^2\frac{r^2+\rho ^2+2r\rho}{1+r^2\rho ^2+2r\rho}, \\ \frac{(r-\rho)^2}{(\frac{1}{r}-\rho)^2}&\le \left|\frac{r+z_2}{\frac{1}{r}+z_2}\right|^2\le \frac{(r+\rho)^2}{(\frac{1}{r}+\rho)^2} .\end{align}$$ Esto completa la prueba.