Número de todos los subespacios de un espacio vectorial sobre un campo finito

Question

Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$. Sabemos que el número de $k$-dimensiones de los subespacios de $V$ está dado por la $q$-coeficiente binomial $$\binom{n}{k}_q = \frac{(q^n-1) \cdots (q^n-q^{k-1})}{(q^k-1) \cdots (q^k-q^{k-1})}.$$ ¿Qué podemos decir sobre el número de todos los subespacios de $V$, la cual es dada por $$s(n,q) := \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_q~?$$ Este es un polinomio en a $q$ con coeficientes en $\mathbb{N}$. Es que hay una descripción más concreta? Ya sé que los coeficientes de recuento de algunas particiones, pero no estoy tan interesado en los coeficientes de que en un lugar cerrado o computable forma. Podemos escribir $s(n,q)$ como una especie de $q$-análogo de un poder de $2$? (En el caso límite $q \to 1$, obtendremos $2^n$.) Hay una recurrencia de la relación? Hacer estos números tienen un nombre?

Es tentador utilizar la $q$-teorema del binomio, que los estados $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_q x^k y^{n-k}$$ en el ring $\mathbb{Z}\langle x,y : yx=q xy \rangle$. Pero no podemos simplemente enchufe en $x=y=1$ aquí, ya que esta no definir un anillo homomorphism.

Aquí están algunos ejemplos:

$s(0,q)=1\\ s(1,q)=2\\ s(2,q)=q+3\\ s(3,q)=2 q^2+2 p+4\\ s(4,q)=q^4+3 q^3+4 p^2+3 p+5\\ s(5,p)=2 p^6+2 q^5+6 q^4+6 q^3+6 q^2+4 p+6\\ s(6,q)=q^9+3 q^8+4 p^7+7 q^6+9 q^5+11 p^4+9 q^3+8 q^2+5 p+7\\ s(7,p)=2 p^{12}{+}2 q^{11}{+}6 p^{10}{+}8 p^9{+}12 p^8{+}12 p^7{+}18 q^6{+}16 q^5{+}16 q^4{+}12 q^3{+}10 q^2{+}6 p{+}8$

Answer 1

He encontrado una recurrencia de la relación.

Para un subconjunto $J \subseteq V$, vamos a $S(J)$ denota el conjunto de todos los subespacios de $V$ contiene $J$. Estos corresponden a los subespacios de $V/\langle J\rangle$. De ello se desprende que $\# S(J) = s(n-\dim \langle J \rangle,q)$.

Por medio de la inclusión-exclusión en el principio, hemos

$$s(n,q) = 1 + \# \bigcup_{v \V \setminus \{0\}} \# S(\{v\})\\=1+\sum_{J \subseteq V \setminus \{0\},\, J \neq \emptyset} (-1)^{1+\# J} \cdot \# S(J)\\=1+\sum_{J \subseteq V \setminus \{0\},\, J \neq \emptyset} (-1)^{1+\# J} \cdot s(n-\dim \langle J \rangle,q)\\ =1+\sum_{k=1}^{n} \left(\sum_{J \subseteq V \setminus \{0\},\, \dim \langle J \rangle =k} (-1)^{1+\# J}\right) \cdot s(n-k,q).$$

Así que basta para describir estos coeficientes de aquí.

Answer 2

Sugerencia: Los coeficientes $T(n,k)$ $s(n,q)$

$$\begin{align*} s(n,q)&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_q=\sum_{k\geq 0}T(n,k)q^k \end{align*}$$

se archivan como A083906 en OEIS. La información es bastante pequeño, lo que indica que no hay mucha más información disponible.