¿Por qué son útiles los números reales?

Question

Una pregunta (por un compañero de CS estudiante que toma un primer curso de cálculo, presumiblemente después de la conferencia en la continuidad que se presentó: era como sigue.

En el mundo real, físico, nos ocupamos de los números que son una especie de "finito" o "discreto" por su propia naturaleza; no hay tal cosa como un círculo perfecto en el mundo físico. En el CS, el modelo de los equipos con la matemática discreta y es suficiente. Entonces, ¿por qué análisis real? Por qué conceptos como la continuidad y la "integridad" de los números reales que son útiles? ¿Por qué los necesitamos?

He encontrado Matemáticas.se tiene un montón de preguntas similares "concreto" justificaciones para el complejo de números y grandes respuestas para ellos, pero realmente no logran encontrar productos similares para esto. La pregunta Son todos los números reales los números? está relacionado, pero no estoy seguro de que es exactamente lo que estoy buscando.

Mi intento de respuesta fue que a lo largo de la línea:

Estamos contenido con la longitud del lado de un cuadrado que tiene el área de 2 unidades restantes de un número indefinido, incluso si nunca nos administrar encontrar una plaza?

y

Cálculo y análisis real de proporcionar resultados que son útiles incluso si en los cálculos numéricos utilizamos finito aproximaciones. Para entender realmente lo que está pasando, queremos ser rigurosos.

pero no estoy seguro de si yo era lo suficientemente persuasivos. Mejores ideas?

Answer 1

Es mucho, mucho más fácil de entender una cierta noción de "aproximadamente un círculo" si usted es el primero capaz de entender la noción de "círculo".

E incluso si usted trata de mantener, por ejemplo, sólo los números racionales, los números reales mantener la gestión de mostrar todos modos. por ejemplo, tan pronto como alguna vez te encuentras en la situación en la que usted piensa para identificar un número por una función que te dice si o no a otros números racionales son más grandes o más pequeños que él, has de repente reinventado los números reales.

Es decir que la teoría de los números-uno de los temas que, a priori, debería ser uno de los más discretos de las asignaturas de matemáticas-hace un uso intensivo de los números reales. E incluso eso no es suficiente "continuo" matemáticas para el bien de número de teóricos: han inventado $p$-ádico números demasiado!

Answer 2

Tal vez podría señalar su amigo al libro Matemáticas concretas: una Fundación para la informática por Graham, Knuth y Patashnik, que muestra un montón de conexiones útiles entre matemáticas continuas (con números reales) y matemáticas discretas. ("Concreto = continuo discreto".)

Por ejemplo, puede utilizarse la fórmula de la adición de Euler-Maclaurin de cálculo avanzado para derivar aproximaciones discretas cosas como $\sum_{k=1}^n \frac1k$.

Answer 3

Los números reales se "idealmente" por muchos de los más prolíficos de los matemáticos de su tiempo (Euler, Gauss, Dedekind, Weiertrass, &c) antes de que se construyeron de manera formal y rigurosa. Incluso Arquímedes y Euclides ya tenía una idea establecida de lo que es una "línea", acerca de lo que es un continuum fue, pero no eran capaces de pensar matemáticamente. Los números reales es la estructura fundamental del análisis moderno, tal vez: son totalmente ordenado Dedekind campo, y, no tanto por nuestra sorpresa hoy en día, esto les caracteriza de manera única!

La gente sabía que quería números para formar un campo (que quería adición, multiplicación y los inversos de los números distintos de cero, conmutatividad, &c). Querían ser totalmente ordenado, y que este orden es compatible con las operaciones de campo. Y querían que esta línea sin espacios, ser un proceso continuo. Como ya he dicho, grandes matemáticos ya por supuesta la existencia de este objeto antes de que se construye (o se ha demostrado que existe?) y ha demostrado ser única, y fue la base de muchas de las matemáticas modernas que vemos hoy, como el Cálculo, el Análisis, la Geometría, &c.

Supongo que el punto aquí es que la mayoría de la gente tenía una muy fuerte idea intuitiva de lo que es una línea, y es los reales que hicieron de esta idea de un concreto objeto matemático, que permite a la gente trabajar y avanzar en sus pensamientos abstractos para obtener el bien fundado de las teorías.

Answer 4

Creo que su punto de vista todo está sesgado, incluso en las otras respuestas. La continuidad es la noción más natural y física. Si nos fijamos en el mundo físico parece poder subdividir indefinitly materia, tiempo y espacio. Desde tal ingenuo punto de vista de los números reales se ven obligados sobre nosotros, por la geometría. Sólo una los pitagóricos se vieron obligados a aceptar los irrationals.

Answer 5

Como quien aprende Ciencias de la computación y Matemáticas (sólo porque me encanta hacer mis propios juegos de video) quiero decirte que:

Aunque la ciencia de la computación es todo discreto, Continuo matemáticas se mantiene fiel en casos discretos como ciencias de la computación.

Por ejemplo, supongamos que desea mover un pájaro en la pantalla de un punto a a $A$ a punto $B$ en la gráfica de la función $f(x)=\frac{\sin x }{ x }$. ¿Qué se puede hacer cuando $x=0$? ¿Cómo puedes saber que $f$ puede ser definido en $x=0$ de una manera que elimina la discontinuidad sin utilizar el teorema del sándwich? (Por cierto, mejor que el movimiento puede ser realizado utilizando la fórmula de longitud de arco en la que se invita aún más el cálculo) Lo que si desea cambiar el pájaro' s de rotación, de manera que el ave va a ser 'tangente' a la curva? La derivada viene. Incluso hay casos más extremos donde tendrás que usar Análisis Real para analizar el gráfico de funciones (y en realidad el uso de $\epsilon\delta$ definición de los límites).

Eso fue un ejemplo muy simple. Hay ejemplos más complejos, ¿Cómo puede tomar el agua de simulación que interactúa con su ave, de modo que si el pájaro toca el agua o se sumerge en el agua, ondas que se inicia (no ondas que son algunos de animación, pero las ondas que se calculan utilizando la fuerza de impacto en el agua)? Usted tendrá que utilizar Campos Vectoriales y de la Mecánica de Fluidos y un montón de él que es de curso continuo de las matemáticas.

Esto significa que la matemática se mantiene fiel en casos discretos (como píxeles en la pantalla).

Creo que una de las mejores maneras de ver de donde se continua la importancia de las matemáticas en ciencias de la computación es para hacer cosas que la invita a su uso como Equipo de Gráficos, Procesamiento de Audio, Procesamiento de Imágenes, Visión por Computador, Inteligencia Artificial, Física, Programación, Aprendizaje de Máquina, Geometría Computacional, el Desarrollo del Juego (que en realidad es una mezcla de Gráficos por Ordenador, Geometría Computacional, Inteligencia Artificial y de la Física de Programación y usted puede incluso agregar Visión por Computador y Procesamiento de Audio para diferentes tipos de juego de interacciones).

Tratar de construir un pequeño juego de ordenador y dime ¿cómo se puede mover sus objetos en la pantalla sin necesidad continua de las matemáticas?

Ahora, ¿qué acerca de la complejidad del análisis?