De cuántas maneras, $7$ lápices pueden ser distribuidos a $5$ de los niños de tal manera que cada niño puede recibir cualquier número de lápices?

Question

P - ¿En cuántas formas $7$ lápices pueden ser distribuidos a $5$ de los niños de tal manera que cada niño puede recibir cualquier número de lápices?

Estoy algo confundido si la respuesta es $5^7$ o $7^5$ ? Yo creo que cada estudiante puede tener cualquier número de lápices por lo tanto $(7 \times 7\times 7\times 7\times 7 = 7^5)$ pero ans es $5^7$.

Por otra parte, si tenemos en cuenta que esta pregunta es como $a+b+c+d+e=7$, entonces la respuesta sería ${11 \choose 7}$

qué respuesta es la correcta cabo de esos 3? ¿por qué es así ? Por favor me ayudan con esto.

Answer 1

La respuesta es $5^7$ o $_{11}C_7$ dependiendo de una muy importante pregunta: Son los lápices de colores distintos? En otras palabras, existe un "lápiz número uno", y no importa quién llegue exactamente el lápiz (y así sucesivamente, para lápiz número$2$,$3$,...)? O es sólo el número de lápices que tiene cada persona que importa? (Si quién es quién entre los muchachos no importa, tan solo "¿cuántos lápices ¿la persona con la mayoría de los lápices get" y así sucesivamente, entonces la respuesta es aún más baja.) Esto es imposible de determinar a partir de la pregunta tal y como está, así que si apareció en una prueba, usted tendría que preguntar acerca de aclaración, y si apareció como una pregunta en un libro, tendría que ver el contexto de cada sección del libro.

En cuanto a por qué $7^5$ es malo, que es básicamente debido a la instalación. No es que cada niño se le asigna un lápiz y un lápiz pueden tener varios niños o sin niños asignados a ella; es la otra manera alrededor. Que significa que un lápiz número $1$ tiene una opción entre el $5$ chicos por donde ir. Eso es $5$. Lápiz número $2$ tiene de nuevo una elección entre el $5$ de los niños, lo que lleva el total a $5^2 = 25$. Y así sucesivamente, hasta el $5^7$.

Answer 2

Depende de si los lápices son idénticos o no.

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Supongamos que los lápices son todos diferentes. Vamos a calificarlos como $P_1,P_2,\cdots,P_7$.

Ahora, para cada lápiz, hay una selección de $5$ niños. Esto da el número de maneras de ser $5^7$.

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Supongamos que los lápices son todos idénticos. Luego, en una instancia en particular de la del caso anterior, que el primer niño tiene un lápiz. Entonces, no importa si ha $P_1,P_2,\cdots$ o cualquier lápiz. Todos los lápices son equivalentes.

A continuación, se puede ver como el número de no entero negativo soluciones de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7$. En este caso, lo mucho que un niño obtiene lo que importa, no las que él obtiene.

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Finalmente, $7\times7\times\cdots7=7^5$ no tiene mucho sentido. Un lápiz no puede ser asignado a más de un chico, que está permitido en este caso.

Answer 3

"Cualquier número de los lápices" en este caso sería de un mínimo de $0$ y un máximo de $7$--total de ocho números posibles de lápices de que el primer niño puede tener, no siete. Pero si el primer hijo recibe siete lápices de que no hay nada a la izquierda para darle a cualquier otro niño, por lo que no es realmente cierto que "cualquier estudiante puede tener cualquier número de los lápices" en el sentido de que se trató de utilizar el hecho de que: ningún niño puede recibir (de hecho, debe recibir), sólo los lápices que no son dados a cualquier otro niño.

¿Cómo podría la respuesta ser $7^5$? La manera más obvia es que de hecho hay exactamente siete opciones de qué regalar a cada niño, y nuestras decisiones de qué regalar a un niño no se limita de ninguna manera por lo que ya hemos dado a otros niños. Supongamos que tenemos un gran stock de lápices de varios tipos, por ejemplo, "número 1" de los lápices (muy suave conduce), el "número 2" los lápices (un poco más), "número 3" (más difícil todavía), y así sucesivamente, y tenemos al menos cinco de cada tipo. A continuación, supongamos que le damos un lápiz para cada niño, y queremos saber cómo muchas formas de distribuir los lápices, donde un número de 1 lápiz es distinguible de un número 2, pero no se distinguen de otro número 1. Luego tenemos cinco veces a tomar decisiones independientes de siete posibles opciones de cada tiempo: $7$ para el primer hijo, $7^2$ para los dos primeros hijos combinado, $7^5$ para todos los niños.

Pero que, evidentemente, no es el problema, que fue creado.