La Función Gamma Integral con discontinuidad

Question

$$\Gamma(z) = \int_0^{\to +\infty}t^{z-1}e^{-t} \, \mathrm dt$$

Para $\operatorname{Re}\left({z}\right) > 0$, y a continuación analítica en otra parte, excepto para los no enteros positivos.

Pero entonces, por ejemplo,

$$\Gamma\left({\frac 1 2}\right) = \int_0^{\to +\infty}t^{-1/2}e^{-t} \, \mathrm dt$$ Esta integrando no está definido en $t = 0$, entonces, ¿qué tipo de integral es esto? Y ¿por qué la integral anterior tiene más sentido que:

$$\Gamma\left({0}\right) \large{\stackrel{\text{don't}}{\normalsize=}}\normalsize \int_0^{\to +\infty}t^{-1}e^{-t} \, \mathrm dt$$

el que tiene un problema similar en $t = 0$?

Answer 1

La función de $f(x)=\frac{1}{x^a}$ es Lebesgue Integrable en $[0,1]$ todos los $a<1$ y converge como Impropia de Riemann Integral en $[0,1]$ todos los $a<1$.

Para evaluar esta integral, podemos escribir para $a<1$

$$\begin{align} \int_0^1 f(x)\,dx&=\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\epsilon}^1\frac{1}{x^a}\,dx\\\\ &=\lim_{\epsilon \to 0}\left.\left(\frac{1}{(1-a)x^{a-1}}\right)\right|_{\epsilon}^{1}\\\\ &=\frac{1}{1-a}\lim_{\epsilon\to 0}\left(1-\frac{1}{\epsilon^{a-1}}\right)\\\\ &=\frac{1}{1-a} \end{align}$$

Tenga en cuenta que para $a=1$, la integral diverge de forma logarítmica.

Answer 2

Hay una diferencia entre los dos integrands, tenemos, como $a \to 0^+$, $$ \int_a^1t^{-1/2}\: \mathrm dt=\left[2\sqrt{t}\right]_^1=2-2\sqrt{a}\2<\infty $$ whereas, as $\to 0^+$, $$ \int_a^1t^{-1}\: \mathrm dt=\left[\ln |t|\right]_^1\to \infty. $$

Estas son las integrales impropias.

Answer 3

Observe que podemos definir la primera integral como

$$\Gamma(1/2)=\lim_{a\to0}\int_a^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt=\sqrt\pi$$

Por otro lado,

$$\Gamma(0)=\lim_{a\to0}\int_a^\infty t^{-1}e^{-t}dt\to\infty$$

Como se podría esperar, ya que hemos

$$\Gamma(n)=\frac{\Gamma(n+1)}n$$

Y habiendo $n=0$ da $\Gamma(0)\to\infty$