Aplicaciones concretas de los retículos al álgebra

Question

La importancia de los entramados para el álgebra (o cualquier campo de las matemáticas, en realidad) debería ser bastante obvia. En concreto, siempre tenemos una red completa de subobjetos (y una red de subobjetos fuertes, etc.) y una red completa de congruencias.

Sin embargo, aunque me gusta afirmar esto todo el tiempo, en realidad no tengo una buena manera de ilustrar la utilidad de esta teoría.

¿Cuáles son algunas aplicaciones concretas de los entramados al álgebra?

Esto podría ser cualquier cosa, desde una demostración alternativa (mejor) de un teorema clásico, hasta una ayuda para calcular los subgrupos de un grupo finito (si es que esto existe, sólo estoy especulando aquí) o cualquier otra cosa, que ojalá pueda motivar a un algebrista "clásico".

Answer 1

Hay muchas respuestas a esta pregunta, pero una aplicación de los entramados se describe en este post de MSE . Citando la respuesta, "Existe una profunda teoría de los entramados de congruencias y lo que nos dicen sobre las álgebras subyacentes. Probablemente la mejor referencia para esta teoría es La forma de los retículos de congruencia de Kearnes y Kiss".

Otra aplicación concreta de los entramados: determinar propiedades de un grupo a partir de la forma de su entramado de subgrupos. Esta y otras muchas aplicaciones se describen en la obra de Roland Schmidt Retículas de subgrupos de grupos .

He aquí un ejemplo sencillo de esto. Supongamos que $G$ es un grupo tal que la red de la izquierda en este dibujo es isomorfo a la red de subgrupos de $G$ o isomorfo a un intervalo en la red de subgrupos de $G$ . Entonces $G$ no tiene solución.

(Lo mismo puede decirse de la celosía de la derecha en el dibujo).

Puede ser un ejercicio que merezca la pena intentar caracterizar los retículos que no pueden aparecer como intervalos en retículos de subgrupos de grupos finitos solubles.

Por cierto, no se sabe si existe un grupo finito que tenga la red de la derecha como un intervalo en su red de subgrupos. Véase este puesto de MO . Por otra parte, se puede demostrar que la red de la izquierda es un intervalo en una red de subgrupos de un grupo finito.

Un buen estudio de esta aplicación de los entramados es aquí .