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Estoy un poco inseguro/a sobre el papel del operador de traza. Entiendo que si tienes una EDP que es resuelta por una función $u$ en algún espacio de Sobolev, entonces no necesariamente está definida en la frontera ya que $u$ está en $L^p$ y por lo tanto puede ser "redefinida" en la frontera ya que es un conjunto nulo. Pero a veces tenemos condiciones de frontera que $u$ debe cumplir para que se fije de manera única $u$. Si no tenemos tales condiciones de frontera, ¿por qué importa lo que $u$ sea en la frontera? ¿Qué papel juega el operador de traza?
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Si $u$ está en $H^{r+2}(\Omega)$ para todo $r$ donde $\Omega$ es compacto, entonces $u$ también está en $C^k(\overline{\Omega})$ para todo $k$. Este es un hecho pero ¿no sé por qué? ¿Cómo la existencia y la integrabilidad de $u$ y sus derivadas implican la continuidad de $u$ y sus derivadas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como Willie explicó la intuición de la definición del operador de traza, tal vez pueda decir algunas palabras sobre la condición de contorno en Ecuaciones Diferenciales, y espero que pueda ayudar. Tomemos la ecuación elíptica como ejemplo, si queremos considerar la forma de una membrana bajo una fuerza externa, nos lleva a una ecuación como $-\Delta u=f$, supongamos que el borde de la membrana es lo suficientemente bueno y está fijo (de hecho, ahora la función de borde es la traza de la función de forma), entonces este es el problema de Cauchy para la ecuación.
Además, porque en la ecuación elíptica tenemos una estimación a priori lo suficientemente buena (usando el potencial de Newton podemos ver cómo se ve la solución), podemos resolver este problema de Cauchy para datos de contorno generales (que pueden no ser continuos, por ejemplo $L^p$), en este caso la solución no es continua hasta el borde, pero converge en sentido $L^p$, lo cual es similar a la definición del operador de traza.
Entonces para mí, la "traza" (generalización del problema de valor en la frontera) simplemente hace que el problema esté bien planteado.
