¿K(F_1) = espectro esférico?

Question

He oído repetidamente que K(F_1) es el espectro de la esfera. Alguien sabe acerca de la prueba y lo que eso significa?

Answer 1

Sí, teniendo GL _n(F _1) para ser Sigma _n uno puede tener sentido tanto de la P - e el +-de la construcción y ambos dan la misma respuesta, como se muestra por Deitmar en http://arxiv.org/abs/math/0605429.

GL _n(F _1)=Sigma _n es sugerido por varias observaciones. Una de ellas es que el recuento de las fórmulas para los subespacios de n - dimensional espacios vectoriales sobre F _q vez en contar fórmulas para subconjuntos de n elementos de los conjuntos, si uno de los conjuntos de q=1. Entonces uno podría decir que un n-dimensional espacio vectorial sobre F_1 es un n-element set y GL _n(F _1)=Aut(F _1^n)=Sigma _n. Ver Cohn está muy bien escrito http://arxiv.org/abs/math/0407093 para esto.

Uno se pone otra pista mirando las Tetas de construcción para el GL _n(F _q) (que es un simplicial complejo, donde el grupo actúa). Existe un límite natural para q va a una 1 - ¿qué es entonces lo que queda es el llamado de la cámara de la construcción y el grupo de simetría de la que es Sigma _n.

Más pistas de que uno sólo debe colocar la suma (en comparación a la noción habitual de módulo) vienen de la aritmética, la geometría, sino que es tal vez menos convincente y una historia más...

Answer 2

Entiendo que esto es debido a GL_n(F₁) se supone que es Sigma_n, el grupo simétrico de n letras. Por lo tanto K(F₁) = K(finito de conjuntos) que es la esfera del espectro por la Barratt-Priddy-Quillen-Segal teorema.

Pero no tengo idea de por qué GL_n(F₁) debe ser Sigma_n...

Answer 3

Aquí es otra heurística, relacionado con lo que Randal-Williams dijo anteriormente. La esfera del espectro es el objeto de la unidad en niza categorías de los espectros. Es decir, el anillo de los espectros son álgebras sobre la esfera del espectro. Ahora, para cada esquema de X, se puede asociar un K-teoría anillo espectro K(X), y esto es contravariante. Así, en el habitual en teoría hay un morfismos K(Z)->K(X) para todos los esquemas de X. por Lo tanto, encontrar F_1 también significa encontrar algo (K-teoría del espectro) que se asigna a la (homotopy) límite de todos los K-teoría de los espectros. Que este debe ser el objeto de la unidad de la categoría de los espectros no parece muy sorprendente.