Demostrar que existe un bloque de $2002$ números naturales consecutivos.

Question

Demostrar que existe un bloque de $2002$ números naturales consecutivos tales que exactamente $150$ de ellos son primos.(Puedes usar el hecho de que hay $168$ Primas menores que $1000$ .

Este es un problema de una olimpiada de secundaria, por lo que no se permitieron calculadoras ni ordenadores.

Esto parece obvio, pero no sé cómo demostrarlo. No entiendo donde usar el hecho dado.

Answer 1

Como usted indica hay más de $150$ primos en el primer bloque de $2002$ números. Además, hay un bloque de $2002$ números sin primos, a partir de $2003! + 2$ . Cada vez que avanzamos el bloque un paso, el número de primos que contiene cambia en $0$ o $\pm 1$ . Dado que el recuento comienza por encima de $150$ y finalmente va a $0$ y no puede cambiar en más de $1$ en un solo paso, debe haber un bloque que contenga exactamente $150$ primos.

Answer 2

He intentado encontrar la fórmula con la que podemos calcular los números entre los que se encuentran los 150 primos. Sin embargo, no lo terminé. (Espero no haber cometido grandes errores :-D).

Digamos que los primos están entre $k$ y $k+l$ . En nuestro caso $l=2002$ . El $n$ -el primo será $m(n)$ .

Iré por Erastothenes. Con cada paso de Erastótenes $n$ se elimina el resultado de la división entera entre $k+l$ y $m(n)$ o $\left(\mathrm{Floor}\frac{k+l}{m(n)}\right)$ como no primos del bloque $k+l$ números.

Por lo tanto, si el bloque es de la longitud $k+l=2002$ se elimina un número determinado de no primos, se obtiene el siguiente número de primos posibles para cada paso:

$$(2) - \mathrm{Floor}(2002\cdot\frac{1}{2})=1001 \\ \quad 2002-1001=1001 \text{ possible primes remaining}\\ (3) - \mathrm{Floor}(1001\cdot\frac{1}{3})=333 \\ \quad 1001-333=668\text{ possible primes remaining} $$ Podemos simplificarlo: $$(5) - \mathrm{Floor}(668\cdot\frac{4}{5})=534 \\ (7) - \mathrm{Floor}(534\cdot\frac{6}{7})=457 \text{ possible primes remaining}$$

Vemos que el número empieza a caer de forma más lenta con el aumento de $n$ . Podemos simplificar la expresión y crear una fórmula para encontrar el número de números no primos en los primeros 2002 números ( Supongamos que cada paso produce un entero, para no tener que escribir floor cada vez ):

$$2002\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\dots$$

Ahora tenemos que encontrar los números con una diferencia de 2002, entre los cuales tenemos 150 primos o 1852 no primos. Suponemos que $n_k$ y $n_{kl}=n_k+150$ son los índices de los primeros primos menores que $k$ y $k+l$ respectivamente. Asumimos divisiones enteras en cada paso (por lo que la notación podría ser engañosa) .

$$(k+2002)\prod_{n=1}^{n_{kl}}\frac{m(n)-1}{m(n)}-k\prod_{n=1}^{n_k}\frac{m(n)-1}{m(n)} =150$$ o $$2002\prod_{n=1}^{n_k+150}\frac{m(n)-1}{m(n)}+k\prod_{n=n_k+1}^{n_k+150}\frac{m(n)-1}{m(n)} =150 $$

No sé dónde ir más allá, o si tiene algún sentido hacerlo:-).