Prueba de que un Factorial no puede ser un Doble Factorial

Question

Estoy buscando una prueba de lo siguiente:

Dado un número entero $n > 2$ , $n$ no puede ser a la vez un factorial así como un doble factorial .

En términos más matemáticos:

$$ \forall n \in \mathbb{Z} : n > 2,\ \nexists\ (i,j) : n = i!\ and\ n = j!!$$

He podido "demostrar" que esto es cierto ejecutando un programa de Python que simplemente genera búsquedas de factoriales iguales y factoriales dobles en orden creciente, pero no he sido capaz de llegar a una prueba suficiente por mí mismo.

Creo que la siguiente fórmula para los factoriales dobles será de ayuda:

$$ 0!! = 1!! = 1,\ n!! = n!/\left((n-1)!!\right) \forall\ n > 1$$

Creo que se puede hacer tanto por inducción como por contradicción. Me encantaría ver ambas pruebas.

Answer 1

Si $j=2k$ entonces $j!!=2^kk!$ y si $2^kk!=n!$ entonces tenemos muchos problemas.

Si $j=2k-1$ también tenemos problemas porque $j!!$ es impar.

Answer 2

Si $k! = (2n)!! = 2^nn!$ entonces $k>n$ y así $$\binom{k}{n} = \dfrac{k!}{n!(k-n)!} = \dfrac{2^n}{(k-n)!}.$$

Esto obliga a que $k-n=1$ o $k-n=2$ Si no, el lado derecho no sería un número entero. Si $k=n+1,$ entonces significa $n+1 = 2^n$ cuya única solución entera es $n=1.$ Si $k=n+2,$ entonces $(n+2)(n+1) = 2^n$ , lo que significa que tanto $n+2, n+1$ son potencias de dos. Así que $n=0$ pero no satisface la ecuación.

Answer 3

Supongamos por contradicción que tenemos algún $j,n$ tal que $j!! = n!$ . Lo dividimos en $2$ casos.

Supongamos que $j = 2k$ con $k > 1$ entonces $j!! = 2^k k! = n!$ Así que, en particular $n > k$ y $2^k = n(n-1)(n-2) \cdots (k+1)$ . Si $n > k+1$ Obsérvese que al menos uno de estos números en el LHS es impar y mayor que $1$ , por lo que tenemos un número par ( $2^k$ ) divisible por un número impar ( $n, k+1,$ o algo intermedio). Esto es una contradicción. Asimismo, si $n = k+1$ tenemos $2^{k} = k+1$ , lo que implica $k=0$ , contradiciendo $k > 1$ . Por lo tanto, $j$ no puede ser uniforme.

Ahora, supongamos que $j = 2k-1$ entonces $j!!$ es impar, sin embargo $n!$ para cualquier $n > 1$ es par. Por lo tanto, $j!! \neq n!$ .