La pregunta que implican valor medio teorema de

Question

Tengo una pregunta que involucra la aplicación del Valor medio Teorema:

Supongamos $f$ es una función derivable en a$[a, b]$$a<b$$f'(a)=f'(b)=0$. Demostrar que existe un punto de $c\in(a,b)$ tal que $\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(c)$.

Entiendo que la idea es aplicar el Valor medio Teorema. En particular, he considerado que la función de $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ si $x\in(a,b]$, e $h(a)=f'(a)=0$, y trató de mostrar que el $h$ no puede ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente (y, por tanto, debe haber dos puntos de $x_1, x_2\in(a, b)$ tal que $h(x_1)=h(x_2)=0$, y el resultado sigue). Sin embargo, me parece que no puede ser capaz de utilizar la condición de que $f'(b)=0$.

Es allí cualquier insinuación de que podría utilizar para este problema?

Answer 1

Definir, por $a<x \le b$, la función $$h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ y tenga en cuenta que tenemos $$h'(x)=\frac{(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}.$$ Desde $f'(a)=0$ vemos que $\lim_{x \to a}h(x)=0$, por lo que en la definición de $h(a)=0$ tenemos $h(x)$ continua en $[a,b]$, y en un máximo o el mínimo de $h(x)$ tenemos $h'(x)=0$. Supongamos por ahora no es un punto de $x=c$ en el abierto intervalo de $(a,b)$ a que $h(x)$ es max o min; a continuación,$h'(c)=0$, lo que significa que $$(c-a)f'(c)-(f(c)-f(a)=0,$$ es decir, $$f'(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}.$$

EDIT: se Parte de la siguiente aproximación (para garantizar el $c \in (a,b)$) fue sugerido por user1296727 en un comentario.

Ahora $h$ tiene un máximo y un mínimo en $[a,b]$. Si ambas fueron en el mismo punto, a continuación, $h$ sería constante, por lo que es derivado desaparecerían todas partes. Así que el max y min son en dos puntos diferentes, y la única mala caso sería si los minutos se a $a$ y max estaban en $b$, o vice-versa.

Ahora si $f(a)=f(b)$ $h(a)=0=h(b)$ y el teorema de Rolle no es $c \in (a,b)$ $h'(c)=0$ como se desee. Nota ahora que a partir de la suposición de $f'(b)=0$ hemos $$h'(b)=-\frac{f(b)-f(a)}{(x-a)^2}.$$ Ya hemos tomado el cuidado de $f(a)=f(b)$ hay dos casos restantes.

Si $f(a)<f(b)$ $h'(b)<0$ mientras $h(b)>0$, de modo que el máximo de $h$ no $a$, y también puede ser en $b$ porque $h'(b)<0$. Por tanto, en este caso el máximo de $h$ se produce en alguna $c \in (a,b).$

Por otro lado, si $f(a)>f(b)$, luego tenemos a $h'(b)>0$ mientras $h(b)<0$, de modo que el min de $h$ no $a$, y también no $b$ porque $h'(b)>0$. Así que en este caso el min de $h$ se produce en alguna $c \in (a,b).$

En los tres casos de posible ordenar entre el $f(a)$ $f(b)$ hemos deseado $c$ $(a,b)$ a que $h'(c)=0$, para finalizar el argumento.