Convergente de la secuencia de los números irracionales que tiene un límite racional.

Question

Es posible tener una secuencia convergente, cuyos términos son todos irracional, pero cuyo límite es racional?

Answer 1

$$\bigg\{a_{n} = \frac{\sqrt{2}}{n} \bigg\}$$

Answer 2

Voy a dar un más que interesante respuesta (creo que el OP quiere algo así):

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=2$$

En general

$$\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+\cdots}}}}=\frac{1}{2}(b+\sqrt{b^2+4a})$$

No es difícil encontrar los números que $\sqrt{b^2+4a}$ es racional.

También:

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^...}}=2$$

Además, el uso de Euler continuo de la fracción teorema podemos tener algo como esto:

$$1=\cfrac{\pi^2/9}{2-\pi^2/9+\cfrac{2\pi^2/9}{12-\pi^2/9+\cfrac{12\pi^2/9}{30-\pi^2/9+\cfrac{30\pi^2/9}{56-\pi^2/9+\cdots}}}}$$

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En realidad, puedo hacerlo aún mejor. Deje $\phi$ ser el cociente de oro, entonces tenemos:

$$1=\frac{1}{\phi^2}+\frac{1}{\phi^3}+\frac{1}{\phi^4}+\frac{1}{\phi^5}+\cdots=\sum^{\infty}_{k=2}\frac{1}{\phi^k}$$

Pero no queremos que $e$ a que se sienten dejados de lado, así que aquí está otra:

$$1=\cfrac{e}{e+\frac{1}{e}-\cfrac{1}{e+\frac{1}{e}-\cfrac{1}{e+\frac{1}{e}-\cdots}}}$$

Answer 3

Si $q$ es cualquier número racional en absoluto y $n$ es un entero positivo, a continuación, $q+\frac 1 n \sqrt 2$ es irracional (es un simple álgebra ejercicio para demostrar que), y $\lim\limits_{n\to\infty}\left(q + \frac 1 n \sqrt 2\right) = q$.

Answer 4

Aquí está otro ejemplo: $$a_n=\frac{1}{n\pi}$$

Answer 5

Deje $q$ ser un número racional, $\alpha$ ser un número irracional, y $a_n$ ser una secuencia de enteros donde $a_n \to \infty$. A continuación, la secuencia $$b_n = q + \frac {\alpha} {a_n}$$ satisface la propiedad que usted pidió.