Simple equivalente a $\sum\limits_{i=1}^N\frac{\log i}i$

Question

Encontrar el límite de $$\lim_{N \to \infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{\log i}{i}}{(\log N)^2}.$$

Soy incapaz de encontrar la suma de $\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{\log i}{i}$. Por favor me ayude.

EDIT: Así,el límite es $$\lim_{N \to \infty}\frac{\frac{1}{2}\ln N^2}{(\ln N)^2}=\lim_{N \to \infty}\frac{\frac{1}{2}.2\ln N}{(\ln N)^2}=\lim_{N \to \infty}\frac{1}{\ln N}=0$$ I get the limit as $0$ not $\frac{1}{2}$. Por favor, ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que,

$$ \sum_{i=1}^{N}\frac{\ln(i)}{i}\sim\int_{1}^{N}\frac{\ln(x)}{x}dx = \frac{1}{2}\ln(N)^2=\frac{1}{2}(\ln(N))^2.$$