¿Cómo se puede formular una vaga idea en una expresión matemática?

Question

Soy un ingeniero de software con ganas de aprender matemáticas. También hago un poco de dibujo.

Lo que me pregunto es, ¿cómo formular una vaga idea de algo que usted está tratando de modelo en una expresión matemática? Aquí es un poco de fondo para darle más contexto de lo que exactamente me refiero...

Cuando escribo código, tengo una vaga idea de algo que queremos construir. Supongamos que queremos construir un ORM (una base de datos, básicamente), que es algo que estoy haciendo actualmente como un proyecto de código abierto (es construir sobre las ideas ya descubierto acerca de modelado de base de datos, pero no de todas las soluciones actuales y de la próxima evolución de una base de datos). Yo a menudo, a continuación, mirar a través de algunos de código abierto para la referencia, para ver cómo otros han hecho cosas similares. Entonces me sketch el código de un par de maneras diferentes en un archivo de texto, y ver si puedo escribir pseudocódigo que será simple y lograr el objetivo. A continuación, una vez que me gusta el código general de arquitectura, escribo el código real.

Cuando me llaman, tengo una vaga idea de algo que quiero dibujar. Entonces, yo a encontrar alguna referencia de trabajo tal vez, o ver algo. Entonces me esbozar diferentes formas de dibujo que cosa. A continuación, una vez que me gusta un boceto, dibujar la imagen real con cuidado basado en ese dibujo.

Por tanto, parece que debería haber un proceso similar para las matemáticas, pero me han tenido éxito hasta ahora en pensando que fuera. Yo traté de preguntar esto y que la cuestión como un problema específico a resolver, pero las preguntas no parecen resonar con la forma en que los matemáticos enfoque de los problemas, así que esto me está pidiendo una manera diferente :)

Cuando por primera vez me estaba aprendiendo el código, yo tenía una idea en mente de lo que yo quería hacer, y así tropezó a través de los tutoriales y tal, que me mostró cómo el modelo de las cosas. Después de un par de meses, yo podría fácilmente tomar un concepto abstracto y formularlo en código (funciones, clases, variables, etc.).

Cuando yo estaba aprendiendo a dibujar (todavía un poco en esa fase), todo el mundo dice "basta con dibujar o simplemente la práctica". Pero eso no funciona para mí, tengo que tener un método sensible detrás de ella, y la motivación. La motivación viene de tener un ejemplo concreto de algo para dibujar. Para mí que fue la naturaleza de dibujo, quería dibujar una hoja. Y se tomó un tiempo para encontrar a alguien (una naturaleza illustrator) que podría enseñarme cómo piensan acerca de la toma de una verdadera hoja de la naturaleza, y la abstracción en un dibujo.

Ahora me estoy preguntando lo mismo para las matemáticas. ¿Cómo se debe tomar un resumen, vaga idea de algo, y convertirlo en una expresión matemática? Las dos preguntas que he enlazado a un ejemplo específico quería utilizar para tratar y entender, pero tal vez ellos no son buenos ejemplos. Me gustaría tratar de hacerse otra pregunta específica, pero estoy un poco desanimado.

He leído la mayoría de Cómo demostrarlo, que ha sido muy útil. Pero, no ofrece mucha orientación sobre el proceso de convertir las vagas nociones (como los vinculados) en expresiones matemáticas.

Lo principal es, no estoy aprendiendo nada por hacer libros de texto de la práctica de los problemas que dicen "Dado un conjunto A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, entonces la unión A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}" tipo de cosa. Son muy desmotivador. Necesito un ejemplo de la vida real para aprender, y esas dos preguntas eran un problema pensé que podría ser formulado en una expresión matemática. Desde aquellos eran malas preguntas, la pregunta general es, ¿cómo formular una idea vaga en una expresión matemática?

Principalmente estoy buscando un ejemplo específico de cómo tomar algún problema/patrón/modelo, y empezar a bosquejar las variables y expresiones matemáticas (el uso de los símbolos como $\sum$ y tal) para tratar de describir el patrón/modelo. No tiene que ser algo que resolver por completo (o que, incluso, es solucionable), sólo el proceso de cómo el modelo de las cosas mediante símbolos matemáticos.

Answer 1

Estoy lejos de ser la persona con mayor experiencia aquí, pero me gustaría compartir mi opinión.

La primera cosa que me gustaría estar preguntando es si dijo vaga noción es la pregunta acerca de algún tipo de patrón.

Por ejemplo, usted hizo una pregunta acerca de cómo el modelo de un árbol. Mientras que hay muchas maneras de describir matemáticamente un árbol, de por sí, el árbol no es un patrón.

Sin embargo, si se preguntan '¿por qué las ramas de un árbol crecer en una moda en particular?', entonces yo diría que es un patrón que se podría describir matemáticamente. Del mismo modo, si se estaban preguntando cómo de rápido se necesitaría un árbol de propagación de semillas y crecen en un bosque, que también sería un patrón que se podría describir matemáticamente.

Yo diría que llamamos una descripción de un patrón de un modelo.

Además, yo diría que las diferentes preguntas conducen a diferentes técnicas en la elaboración de modelos. En el primer ejemplo, uno podría usar algo como un L-Sistema para construir el modelo, mientras que en la segunda, se podría utilizar una cadena de Markov o un PDE modelo.

Estos modelos pueden intento de responder a preguntas específicas acerca de los patrones.

Ahora, la mayoría de los libros de texto tienen estos problemas abstractos como los ejercicios y ejemplos porque ellos enseñan las técnicas que se utilizan para trabajar con los modelos específicos. Piensa que es como el aprendizaje de un lenguaje de programación en particular. Sólo como un aprendizaje de Java proporciona las herramientas necesarias para escribir una aplicación Java, usted todavía necesita una idea de lo que quieres hacer tu aplicación. El aprendizaje de la teoría de conjuntos que te da las herramientas para responder conjunto teórico de problemas, pero usted todavía tiene que girar a la vaga noción a una pregunta acerca de un patrón de que la teoría de conjuntos puede trabajar.

En cuanto a sus libros de texto se refiere, yo le pregunte a su alrededor y trate de encontrar un libro de texto que funciona para usted. Ningún libro de texto que funciona para todo el mundo, y seguramente hay algunos en que hablar con usted. Tal vez incluso a favor de los campos que son inherentemente aplicado, como ecuaciones diferenciales o la teoría de la probabilidad.

Espero que ayude.

Answer 2

Voy a tratar de poner un ejemplo. Imagina que quieres definir formalmente el concepto de comparaison entre los objetos. De hecho, en la vida diaria, que la mayoría de las veces da valores a las cosas y de la comparación de estos valores podría ser útil. Nos untuitively saber cómo comparar los números reales. ¿Qué significaría para comparar conjuntos, vectores, matrices,funciones,... ?

Un buen comienzo es hacer una lista de la propiedad de dicha comparación. Hay que tener en cuenta que un modelo es una aproximación de la realidad, por lo que necesita para distinguir la propiedad que son esenciales, que uno sólo están aquí para simplificar el problema, que no son esenciales, pero no estamos aquí para simplificación. Aquí está una tentativa (hay muchas posibilidades):

1. Podemos comparar sólo los objetos similares, por lo tanto los objetos que residen en el mismo conjunto $X$.
2. Sólo podemos comparar dos objetos juntos (sin duda una simplificación de la propiedad) y decidir cuál es la mejor, por lo que una comparación podría ser una función de $f$ $X\times X$ con valor en $\{0,1\}$, $f(x,y)=1$ lo que significa que $y$ tiene una mejor o el mismo valor de $x$; y $f(x,y)=0$ lo contrario.
3. $x$ tiene siempre el mismo valor de $x$, por lo que debemos tener $f(x,x)=1$ cualquier $x$$X$.
4. Si $x$ tiene menos valor que la de $y$ $y$ tiene menos de $z$, $x$ tiene menos valor que la de $z$. Significa: $$(f(x,y)=1 \wedge f(y,z)=1) \Rightarrow f(x,y)=1$$
5. No esencial de la propiedad (es discutible): si $x$ tiene menos valor que la de $y$ $y$ tiene menos valor que la de $x$,$x=y$. Esto significa $$(f(x,y)=1 \wedge f(y,x)=1) \Rightarrow x=y$$

Si las propiedades de $1$ $5$están satisfechos, que conduce a la conocida noción de orden total en un conjunto. Total significa que en la definición de las $f$ sobre todo $X\times X$, nos implícitamente asume que dos elementos de $X$ siempre puede ser comparado. Si el dominio de $f$ es relajado, un subconjunto de a $X\times X$, se llama de orden parcial.

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Una solución alternativa: la propiedad $2$ anterior puede parecer artificial y nos gustaría comparar más elementos de $X$ al mismo tiempo. Una posibilidad:

1. Asumimos que todos los elementos que desea comparar en vivo en el mismo set $X$.
2. Simplificación de la propiedad: dado cualquier subconjunto no vacío de a $X$, podemos decidir cuál es la mejor. Esto significa que el mejor elemento siempre existe y es único. Esto puede ser modelized por una función de $B$ $P(X)^*$ a $X$ satisfacción $B(A)$ es un elemento de $A$. Aquí, $P(X)^*$ denota el conjunto de todos los no vacía de subconjuntos de a $X$.
3. Con esta definición, tenemos $B(\{x\})=x$, por lo que la propiedad $3$ de la lista anterior está satisfecho automáticamente.
4. La propiedad $4$ traduce a $$(B(\{x,y\})=y \wedge B(\{y,z\})=z)\Rightarrow B(\{x,z\})=z$$
5. Para encontrar el mejor elemento de la unión de dos conjuntos, es suficiente para comparar sus dos respectivos mejores elementos, por lo $$B(A_1\cup A_2)=B(\{B(A_1),B(A_2)\})$$
6. Si un conjunto está contenido en un conjunto más grande, el mejor del conjunto es mejor que el mejor de el conjunto más pequeño (un campeón del mundo debe ser mejor que el típico campeón regional). A continuación, $$A_1\subset A_2 \Rightarrow B(\{B(A_1),B(A_2)\})=B(A_2)$ $ Este establecimiento $6$ es en realidad una consecuencia de la propiedad $5$.

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Espero que esto ayude. Fue muy divertido de escribir de todos modos.