Deje $f$ ser una función continua en [$0, 1$] con $f(0) =1$. Deje $ G(a) = 1/a ∫_0^a f(x)\,dx$, a continuación, cuál de los siguientes son verdaderas?

Question

Deje $f$ ser una función continua en [$0, 1$] con $f(0) =1$. Deje $ G(a) = 1/a ∫_0^af(x)\,dx$, a continuación, cuál de los siguientes son verdaderas?

1. $\lim_{(a\to 0)} G(a)=1/2$
2. $\lim_{(a\to0)} G(a)=1$
3. $\lim_{(a\to 0)} G(a)=0$
4. El límite de $\lim_{(a\to 0)G(a)}$ no existe.

Estoy completamente atrapado en él. ¿Cómo debo resolver esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $G(a)$ es la media (o promedio) valor de la función en el intervalo de $[0,a]$. He aquí un argumento intuitivo que le ayudará a ver lo que está pasando. La función de $f$ es continua, y $f(0)=1$, por lo que al $x$ está muy cerca de $0$, $f(x)$ debe estar cerca de $1$. Así, por $a$ cerca $0$, $f(x)$ debe estar cerca de la $1$ por cada $x\in[0,a]$, y por lo tanto su valor medio debe estar cerca a $1$.

De que debe ser fácil de escoger la respuesta correcta, sino que también sería un buen ejercicio para usted para tratar de demostrar que la respuesta realmente es correcto.

Answer 2

Sugerencia: el Uso de l'Hospital de la regla de $\lim_{a\to 0}G(a)$. Vemos que $G(a)\to 1$ al $a$ tiende a cero.

Answer 3

Con el teorema Fundamental del cálculo, se puede expresar \begin{align} &\int_0^a f(x) \, dx = F(a)-F(0) \\ \Leftrightarrow &\frac1a\int_0^a f(x) \, dx = \frac{F(a)-F(0)}{a}=G(a) \end{align} Si ahora se desea evaluar $\lim_{a\rightarrow 0} G(a)$ consigue \begin{align} \lim_{a\rightarrow 0} G(a) =\lim_{a\rightarrow 0} \frac{F(a)-F(0)}{a}= ? \end{align} Significa lo anterior formulación te recuerda algo?

Answer 4

Bueno, si vamos a $f(x)=\cos{x}$,$f(0)=1$$\int_0^a f(x) dx=\sin{a}$. Sabemos que $$\lim_{a\to 0}\frac{\sin(a)}{a}=1$$ as a common identity. So if this is supposed to hold for all continuous functions on $[0,1]$, then statement $2$ debe de ser verdad.

Esto ayuda a determinar la respuesta rápidamente; demostrando que, por supuesto, es un asunto diferente.