Movimiento de $x^2+x+1=0$ $x+1+\frac1x=0$parece presentar una solución, ¿cómo es esto posible?

Question

Hace poco vi esto: ($x\in\mathbb{C}$)

1. $$x^2+x+1=0,x\neq0,\pm1$$
2. $$x+1+\frac{1}{x}=0$$ Inversión (2) en (1) obtenemos $x^2-\frac{1}{x}=0$ $x=1$

¿Por qué sucede esto? Sé que la eq. (1) tiene soluciones $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}$, y que estos todavía son soluciones de la ecuación. (2), pero ¿dónde está el extra solución de $x=1$ proviene? (Y por qué es que el paso no es válido? Es como el cuadrado de los dos lados?)

Answer 1

En efecto, usted ha tomado la ecuación $$x^2+x+1=0,$$ dividido por $x$ para obtener $$x+1+\frac1x=0$$ y luego multiplicado por $x-1$ para obtener $$x^2-\frac1x=0.$$ La extraña raíz de $1$ es la solución de $x-1=0$, e $x-1$ es el factor que multiplicado por.

Answer 2

Otra manera de ver esto.

1. $$x^2 + x + 1 = 0, x \neq 0, \pm 1$$

2. $$x + 1 + \frac{1}{x} = 0$$

3. $$x^2 - \frac{1}{x} = 0$$

4. $$x = 1$$

Estamos pidiendo "las soluciones' a 1. ¿Qué significa eso? Esto significa, encontrar un conjunto de números, $X \subset \mathbb{C}$ con

$$x \in X \iff 1.$$

Sabemos que

1. $\implies$ 2.

Y claramente 2. $\implies$ 1.

Así que 1. $\iff$ 2.

Sabemos que, en conjunto,

1. y 2. $\implies$ 3.

PERO, no es el caso que

3. $\implies$ 1.

Este es un supuesto implícito en la 'prueba' dado.

También sabemos que

4. $\implies$ 3.

PERO, de nuevo, no es el caso que

3. $\implies$ 4.

Con estas implicaciones explícitas, debería quedar claro por qué este razonamiento es falso. Efectivamente estamos haciendo la afirmación de que el 4. $\implies$ 1!

El particular, es la falacia llamada de Afirmar el Consecuente , porque nos 'afirmar' la mano derecha de una implicación, y fallaciously deducir de ello que la mano izquierda debe ser verdadera.

Este tipo de falacia es particularmente común cuando 'ecuacional de razonamiento se utiliza sin hacer las implicaciones explícitas.

Answer 3

Si $$x^2-\dfrac{1}{x}=0,$$ then $$\frac{x^3-1}{x}=0;$$ but note that $$\frac{x^3-1}{x} =\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x}=0,$$ so you just basically multiplied both sides of $(1)$ by $(x-1)$.

Answer 4

Al realizar la ecuación (1) ecuación (2), que se están multiplicando $\left(1-\frac1x\right)$ a ambos lados de la ecuación (1):

$$\begin{align*} x^2+x+1 &= 0\\ (x^2+x+1)\left(1-\frac1x\right) &= 0\\ x^2 - \frac1x &= 0 \end{align*}$$

Así se introdujo el root $\frac1x = 1$, es decir,$x=1$.