Un lindo aproximación para $\cot(2\pi x)$(!?)

Question

Cálculos numéricos y algunos teoría lleva a la sugerencia de que

$$\cot(2\pi x) \rightarrow\frac{1}{2\pi}\sum_r \frac{1}{x-r}$$

donde $r$ rangos de todas las raíces de $B_{2n+1}$ (Bernoulli polinomio) como $n\rightarrow \infty$$n \in \mathbb{N}$.

¿Esto converge a $\cot(2\pi x)$? Si es así, ¿a qué ritmo? ¿Tiene punteros a los libros, los artículos?

Aquí está un artículo que es relevante para empezar:

Convergencia uniforme el Comportamiento de los Polinomios de Bernoulli

La teoría detrás de esto es realmente sólo un Corolario 2.1, página 3 de ese artículo y que para

$P(x)$ $Q(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n)$ polinomios $\textrm{deg }P < \textrm{deg }Q$, $\alpha_i$ distintos, entonces

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^n \frac{P(\alpha_i)}{Q'(\alpha_i)}\frac{1}{(x-\alpha_i)}$$ partial fractions Wikipedia (also $B_n'(x)=nB_{n-1}(x))$

Answer 1

Aquí está otro de expansión de la serie que resulta de la explotación de los polos de $\cot(x)$,

$$ \cot(x)= \frac{1}{x} + \sum_{{k=-\infty}_{k\neq0}}^{\infty}\left( \frac{1}{x-k\pi}+ \frac{1}{k\pi} \right). $$

Para más detalles sobre el método, ver aquí a partir de la página $101$.