$p(x)x^n+q(x)(1-x)^n=1$ algunos $p(x), q(x)\in \mathbb{Z}[x]$, lo que explícitamente $p(x), q(x)$ son?

Question

Debido a $x^n$ $(x-1)^n$ son relativamente primos en $\mathbb{Z}[x]$, por lo que $p(x)x^n+q(x)(1-x)^n=1$ algunos $p(x), q(x)\in \mathbb{Z}[x]$. ¿Cuáles son las fórmulas explícitas de $p(x), q(x)$?

Answer 1

Sugerencia:

Comience con la igualdad $$x+(1-x)=1$$ raise to a large enough power ( $2n-1$ will do it ), and use Newton binomial formula. Separate the LHS into a multiple of $x^n$ and a multiple of $(1-x)^n$.

Answer 2

Tiene una forma cerrada en el caso más general, cuando tiene dos distintos exponentes $n$ $m$ :

$$ (1-x)^n\Bigg(\sum_{j=0}^{m-1} \binom{n+j-1}{j}x^j\Bigg) -x^m\Bigg(n\binom{n+m-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k}}{m+k}x^k\Bigg)=1. $$

También puede reescribir esto de manera más compacta como

$$ (1-x)^n\Bigg(\sum_{j=0}^{m-1} \binom{n+j-1}{j}x^j\Bigg) +x^m\Bigg(\sum_{k=0}^{n-1} \binom{m+k-1}{k}(1-x)^k\Bigg)=1. $$

Answer 3

Yo no soy un experto en Álgebra, pero usted tendría que usar el algoritmo de Euclides en que.

También, debido a que Z no es un campo, ni siquiera estoy seguro de si el algoritmo de Euclides tiene sentido.

De hecho, en otros para aplicar Euclides una vez que usted tendría sólo el LÍDER coeficiente de ser invertible (en este caso, 1 o -1) y la estructura debe ser de al menos un dominio euclídeo (un anillo sin divisores de cero y dotado de una Euclidiana función), no? El requisito de campo es la aplicación de MCD computación para cualquier polinomio.

Tal vez usted puede ignorar el hecho de Z no es un campo y no puede encontrar una fracción en la final.

Por eso, $x^n$ $(1-x)^n$ han invertible líder de los coeficientes de $1$$(-1)^n$, respectivamente.