La simplificación de la plaza de la integral en general

Question

Para una verdadera función con valores de $f=f(x)$, más de la variable real $x$, con la siguiente integral

$$ \left[ \int_{a}^{b} f(x)dx \right]^{2}, $$

hay un conocido general método/enfoque para manejar esto como quitar el cuadrado de más de la integral, dicen que al hacer cambios en el integrando y/o de intervalo y, a continuación, proceder con una forma como la $\int g(x)dx$ después, se $g(x)$ es alguna otra función?

Answer 1

Probablemente el mejor que se puede hacer en general es $$\left(\int_a^bf(x)dx\right)^2=\int_a^b\int_a^bf(x)f(y)dxdy$$ Un lugar donde esto es útil en la evaluación de $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$

Answer 2

$$\begin{align}\left(\int^b_a f(x)\text{ d}x\right)^2 &=\left(\int^b_a f(x)\text{ d}x\right) \left(\int^b_a f(x)\text{ d}x\right)\\ &=\left(\int^b_a f(x)\text{ d}x\right) \left(\int^b_a f(y)\text{ d}y\right)\\ &=\int^b_a \int^b_a f(x) \cdot f(y)\text{ d}x\text{ d}y.\end{align}$$

Answer 3

Integrales dobles:

$$\left(\int_a^bf(x)dx\right)^2=\int_a^b\int_a^bf(x)f(y)dxdy$$

Coordenadas polares

$$\left(\int_a^bf(x)dx\right)^2=\int_a^b\int_a^bf(x)f(y)dxdy=\int\int_{\text{bounds change}}rf(r\cos(\theta))f(r\sin(\theta))drd\theta$$

En el cálculo estocástico, hay Cómo calcular la expectativa de la plaza de la integral de Riemann de una variable aleatoria?, y también hay Ito isometría $$\int_{\Omega} [\int_0^t f(s) dW_s]^2 dP = \int_{\Omega} \int_0^t f^2(s) ds dP$$

Por la desigualdad de Jensen

$$\left(\int_a^b f\right)^2 \leqslant \int_a^b (f)^2$$

Discretos finitos analógica:

$$(\sum_{i=1}^{n}a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ia_j$$

Discreto infinito analógica con el cambio de los índices:

$$(\sum_{i=0}^{\infty}a_i)^2 = \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_ia_j = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}a_na_{k-n}$$

Tal vez usted podría hacer lo mismo para $\int \int$.

Answer 4

Supongamos que fueron capaces de encontrar una función g(x) para tener $$\int_{a}^{b} g(x)dx =\left[ \int_{a}^{b} f(x)dx \right]^{2}$$

¿Cómo puede este proceso hace que sea más fácil para encontrar $$ \left[ \int_{a}^{b} f(x)dx \right]^{2}$$

Usted tiene que integrar f(x) y de la plaza o integre g(x).

En cualquier caso, sólo hay una integración de los involucrados.

El proceso de encontrar g(x) de f(x) es una tarea adicional que se nos impone si queremos integrar a g(x) en lugar de f(x).

Podemos utilizar las integrales dobles.

Con la excepción de algunos casos especiales, donde las coordenadas polares se utiliza, el resultante de las integrales dobles no son nada más fácil que el original de la integral de f(x).