Inverso aditivo de un número frente a la multiplicación por $-1$

Question

Para dar el contexto, he estado tratando de buscar diferentes maneras de convencerme de cómo $-\times - = +$

Inverso aditivo de $a$ se escribe como $-a$

Como ejemplo, la inversa aditiva de $-3$ se escribe como $-(-3)$
También $-1$ veces $-3$ se escribe como $(-1)\times (-3)$

Las dos expresiones anteriores se evalúan con la misma cantidad $3$ .
Supongo que es fácil ver por qué la inversa aditiva de $-3$ es igual a $3$ simplemente mirando la ecuación $3+(-3) = 0$

Sin embargo, debe ser muy difícil convencerse de por qué la segunda expresión $(-1)\times (-3)$ evalúa a $3$ también. Ambas operaciones parecen estar relacionadas. Estoy tratando de averiguar la conexión/intuición detrás de tomar inversos aditivos y multiplicar por $-1$ . Se agradece la ayuda. Gracias.

Answer 1

La prueba estándar es la siguiente $$ 0\times(- 3)=0\\ (1+(-1))\times(-3)=0\\ 1\times (-3)+(-1)\times(-3)=0\\ (-3)+(-1)\times(-3)=0 $$ y vemos que $(-1)\times(-3)$ es una (la) inversa aditiva de $(-3)$ .

Answer 2

Una forma de dar a entender que los inversos aditivos suman $0$ es:

Usted está haciendo una determinada distancia en una dirección en un plano de coordenadas. Sea esa distancia $x$ unidades. Usted va a la la misma distancia en la dirección opuesta o ir a donde estabas inicialmente. Nos movimos la misma distancia, $x$ ambas veces, pero te estabas moviendo "hacia atrás" $x$ la segunda vez, que puede ser denotada por $-(x)$ . Dado que terminas en tu ubicación original, puedes reclamar que $x+(-x)=0$ .

Ahora, sabemos que los inversos aditivos suman $0$ . Ahora la multiplicación de dos negativos.

Utilizando la información de que los inversos aditivos suman $0$ , defina $x=ab+(-a)(b)+(-a)(-b)$ , donde $a$ y $b$ son números reales.

$$x=ab+(-a)(b)+(-a)(-b)\implies x=ab+(-a)[(b)+(-b)]\implies x=ab+(-a)[0]$$

Lo que significa $x=ab$ . También:

$$x=ab+(-a)(b)+(-a)(-b)\implies x=b[(a)+(-a)]+(-a)(-b)\implies x=b[0]+(-a)(-b)$$

Lo que significa $x=(-a)(-b)$ . Desde $x=ab$ y $x=(-a)(-b)$ ¿Qué puede decir?