Dos veces derivable la función no es igual a $0$

Question

Esta es una pregunta en el pregrado a nivel de libro de texto "Cálculo Avanzado" por Fitzpatrick.

Supongamos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es dos veces diferenciable tal que para $\forall x$, $f'(x)\leq f(x)$, y $f(0)=0$. A continuación, se $f$ el cero de la función?

La respuesta a esto no es cierto ya que yo era capaz de encontrar un contraejemplo $f^*(x)= 1- e^x$. Sin embargo solo hemos aprendido acerca de la diferenciación, la media-teorema del valor y cómo encontrar los extremos el uso de 1º y 2º de derivados, y sólo hemos visto derivados de polinomios hasta ahora, pero no sé cómo refutar la afirmación anterior por el uso de estos.

(EDITAR) Para $1−e^x$ válido contra-ejemplo, tengo que "oficialmente", que la función exponencial, la derivada es igual a sí mismo. Pero las funciones exponenciales son en el siguiente capítulo. Por lo tanto, a menos que me quieren "hacer trampa", tengo que pensar en otra función.

Answer 1

Moralmente cualquier función que es positivo de una disminución en el $x<0$ $0$ de lo contrario será un contraejemplo. Para satisfacer la suavidad de la asunción de seleccionar sólo una función que va a $0$ lo suficientemente rápido en $x=0$; por ejemplo, $f(x)=x^4$ $x<0$ $0$ otra manera de hacer el truco.