¿Cuáles son algunos temas matemáticos que involucran sumar y multiplicar imágenes?

Question

Déjame darte un ejemplo de lo que quiero decir. Las álgebras de banderas son una herramienta utilizada en la teoría de grafos extremal que involucra escribir desigualdades que se ven así:

(No es demasiado importante para mi pregunta lo que significa esta desigualdad, pero déjame darte algo de contexto. Informalmente, las cosas que estamos sumando y multiplicando son probabilidades de que un grupo aleatorio de vértices en un grafo grande induzca algún subgrafo pequeño específico. Para hacer algunas manipulaciones rigurosamente justificadas, esto no es precisamente lo que queremos decir; en su lugar, son los límites de dichas probabilidades sobre una secuencia convergente de grafos.)

Además de ser potencialmente útil para resolver problemas matemáticos que me intrigan, disfruto usando, pensando en, e incluso viendo afirmaciones sobre álgebras de banderas, ¡porque estas ecuaciones e desigualdades se ven tan geniales! En lugar de multiplicar, sumar y comparar letras y números, podemos hacer lo mismo con imágenes de cosas.

Entonces mi pregunta es: ¿cuáles son algunos otros temas en matemáticas donde podemos hacer lo mismo?

Obviamente, siempre puedes darle el nombre que quieras a una variable, como esos problemas matemáticos que ves en Facebook donde cereza más plátano es igual a tres veces hamburguesa. No estoy interesado en ejemplos como estos, porque no hay nada especial en esos nombres de variables. En cambio, me interesan casos que cumplan las siguientes condiciones:

• Los matemáticos que trabajan con estos objetos comúnmente representan las cosas que están sumando o multiplicando o cualquier operación algebraica (en general, realizando manipulaciones algebraicas) mediante imágenes.
• Las imágenes utilizadas para representar estos objetos son realmente útiles para entender qué son los objetos.

Está bien si no estamos sumando o multiplicando específicamente, siempre y cuando estemos manipulando las imágenes de maneras tradicionalmente reservadas para números o variables. Por ejemplo, las cosas representadas por imágenes podrían ser elementos de algún objeto algebraico (grupo, anillo, etc.)

Answer 1

La declaración de investigación de Noah Snyder que se puede encontrar en línea tiene un ejemplo realmente genial de esto:

Además, aquí hay un ejemplo relacionado con los diagramas de Feynman que encontré en línea:

Answer 2

En el área de combinatoria, especialmente en funciones generadoras, puede ser natural usar imágenes. Creo que los siguientes cumplen las condiciones en la pregunta: son útiles, y los matemáticos realmente las han utilizado en libros.

El primer libro es Matemáticas Concretas, de Graham, Knuth y Patashnik. En el libro introducen funciones generadoras usando alineaciones de dominós. ¿Cuáles son todas las formas de alinear un tablero de $2 \times N$ usando dominós? Primero escriben una expresión para el conjunto $\mathsf{T}$ de todas las alineaciones:

Podemos resolver la ecuación anterior para obtener una expresión para $\mathsf{T}$:

También podemos agrupar términos, tratando las variables como conmutativas:

Más adelante trabajan con alineaciones de formas $3 \times N$ con dominós, y obtienen ecuaciones más complicadas:

Y al hacer que las variables (pictóricas) sean conmutativas nuevamente, podemos aplicar toda la álgebra que conocemos:

Más adelante en el libro hacen algo similar para el problema del cambio de monedas (formas de hacer cambio para un dólar usando peniques, níqueles, dimes, etc).

Otro libro encantador es Combinatoria Analítica, de Flajolet y Sedgewick. Parece recordar imágenes similares en las páginas introductorias del libro para árboles y otras estructuras, pero parece que mi memoria falla. De todas formas, hay un par de ejemplos en el libro:

y

Answer 3

Las álgebras diagramáticas crean un anillo donde cada elemento es una imagen (o una combinación lineal de imágenes), y la multiplicación se realiza concatenando diagramas y utilizando algunas reglas para simplificarlos. Un ejemplo famoso es el álgebra de Temperley-Lieb.

Answer 4

La notación de Penrose puede producir algunas ecuaciones con imágenes muy llamativas.

Answer 5

Algunas cosas que me vienen a la mente:

• A veces las ecuaciones que involucran matrices (de bloques) parecen imágenes.
• Las máquinas de estados finitos suelen representarse con diagramas, y puedes sumar y multiplicarlos (los lenguajes forman un monoide bajo unión y concatenación, pero también puedes hacer productos e intersecciones).
• Aquí hay una forma excepcionalmente bonita de sumar triángulos: Grupo de Triángulos de Sharygin.
• Las relaciones usando cuadros jóvenes a menudo dibujan los diagramas/cuadros jóvenes involucrados.
• La teoría de nudos también utiliza muchos diagramas.

¡Espero que esto ayude $\ddot\smile$