Quiero demostrar que, en el conjunto de: $S=\{(x,y)\in \mathbb R^2\,\,|\,\,0\lt x\lt y \,\,,\,\,\,\,x^x=y^y \}$ $\,\,$ es incontable.
Mi idea es la siguiente:
Considere la función $f(x)=x^x\,,\,\,\,x\gt0$. Entonces:
$$f'(x)=x^x(\ln(x)+1).$$
$f$ es decreciente en el intervalo de $(0,\frac{1}{\mathbb e})$ y el aumento de $x\in [\frac{1}{\mathbb e},1]$. Y:
$$\lim_{x\to 0}f(x)=1$$
porque de $f''(\frac{1}{\mathbb e})\gt0$,$\,\,$ el punto: $x=\frac{1}{\mathbb e}$ es un mínimo relativo valor de $f$. Por lo tanto, para cada $x\in (0,\frac{1}{\mathbb e})$, podemos encontrar $y\in (\frac{1}{\mathbb e},1)$ de manera tal que, $x^x=y^y$$x\lt y$. Por lo $S$ es incontable.
Hay otra prueba?
Gracias de antemano...
